Neurčitý integrál

Vypracovala: Mária Martinkovičová

Nech funkcia f je definovaná na (a, b). Funkciu F definovanú na (a, b) voláme primitívna funkcia k funkcii f na intervale (a, b), ak pre ľubovoľné x ϵ (a, b) platí F´(x) = f(x). Miesto F(x) píšeme i

→ neurčitý integrál funkcie f.

Vety o neurčitých integráloch:

Ak má funkcia aspoň jednu primitívnu funkciu, tak ich má nekonečne veľa. Pritom sa každé dve líšia o tzv. integračnú konštantu.

Ak funkcia f je spojitá na intervale (a, b) tak k funkcii f na (a, b) existuje primitívna funkcia.

Ak funkcia F je primitívna funkcia k funkcii f a G je primitívna funkcia k funkcii g, ďalej platí: c1F + c2G je primitívna funkcia k funkcii c1f + c2g

Nech f, g sú spojité funkcie na (a, b).

Ďalej platí:

Integrál zo súčtu funkcií:

Integrál z rozdielu funkcií:

Integrál zo súčinu konštanty a funkcie:

Prehľad elementárnych integrálov:

Základné metódy integrovania:

1. Substitučná metóda je metóda odvodená od vzťahu pre deriváciu zloženej funkcie a jej princíp je v nasledujúcom tvrdení:

Nech F je primitíva funkcia k funkcii f v intervale I a nech funkcia g má deriváciu v intervale (a, b) a nech pre každé x ϵ (a, b) je g(x) ϵ I. Potom v intervale (a, b) platí:

Poznámka: Dôležité je zvoliť primeranú substitúciu a niekedy treba integrovanú funkciu pred použitím tejto metódy upraviť algebraickými, prípadne inými úpravami.

Pri používaní substitučnej metódy je praktický postup vo všeobecnosti takýto:

1. V integrovanej funkcii hľadáme takú funkciu g, ktorá sa tam vyskytuje spolu so svojou deriváciou, prípadne jej číselným násobkom.

2. Uvedieme novú premennú t, pre ktorú t = g(x).

3. Daný integrál upravíme na tvar:

Počítame:

4. Nakoniec vo výsledku nahradíme:

t = g(x) F(g(x)) + c

2. Metóda Per partes je tzv. integrovanie po častiach. Metóda Per partes je odvodená zo vzťahu pre deriváciu súčinu funkcií, spočíva v:

Nech funkcie f a g majú derivácie v intervale (a, b). Potom v intervale (a, b):

Pri integrovaní po častiach záleží na tom, ako zvolíme f ´(x), g(x) a niekedy treba túto metódu použiť i viac krát za sebou, pokiaľ nedostaneme známy neurčitý integrál.

Metóda sa používa na integrovanie súčinu funkcií. Jednu z nich zvolíme za f ´, druhú za g. Výpočet daného integrálu potom prevedieme na výpočet iného integrálu. Za funkciu f(x) pritom volíme čo najjednoduchšiu, ľubovoľnú, primitívnu funkciu k funkcii f´(x).

Aby sme boli pri tejto metóde úspešní, funkcie f´ a g by sme mali voliť tak, žeby nemal byť problém vypočítať funkcie g´(x) a