Výroková logika je časť matematickej logiky. Zaoberá sa tvorbou výrokov, ich spájaním navzájom, zisťovaním logickej pravdivosti týchto výrokov a ich spojení a zaoberá sa i niektorými spôsobmi odvodzovania. Zahrňuje skúmanie, ktoré sa týka logického spájania výrokov. Výroková logika je vyjadrovací prostriedok matematiky, s ktorým sa možno stretnúť v rôznej terminológii i v rozličných matematických vetách.
Výrok je základom výrokovej logiky. Je to každá oznamovacia veta, u ktorej dáva zmysel, keď uvažujeme, či je pravdivá alebo nepravdivá. Teda výrok je každý výraz popisujúci stav vecí, pričom vieme jednoznačne určiť, či je alebo nie je stav vecí taký ako tvrdí .
Pravdivostná hodnota výrokov: Ak výrok vyjadruje skutočný stav vecí, hovoríme, že je pravdivý. Ak neplatí, t. j. nevyjadruje skutočný stav vecí, hovoríme, že je nepravdivý. Pojmy pravda a nepravda sú teda pravdivostné hodnoty, a každý výrok nadobúda jednu z týchto hodnôt.
Pravdivostné hodnoty označujeme:
pravda (t.j. výrok platí)…................1
nepravda (t.j. výrok neplatí) …........0
Príklady:
Výroky sú:
Vonku prší.
Hlavné mesto Slovenska je Bratislava.
Prvá veta je výrok, buď platí alebo neplatí. Veta je výrokom i keď v tomto prípade nie je upresnená – v Bratislave môže pršať, no v Košiciach nemusí. Výrok nemôže byť súčasne pravdivý alebo nepravdivý, ale vetou „vonku prší“ sa zvyčajne myslí, že prší v mieste, v ktorom sa nachádzame. Preto je toto tvrdenie buď pravdivé alebo nepravdivé, teda ide o výrok.
Druhá veta je pravdivý výrok.
Výroky nie sú:
Bude zajtra pršať?
Tento rok ma príjmu na vysokú školu.
Prestala som nosiť šaty.
Prvá veta je otázka, teda nemôže ísť o výrok. Pri druhej nevieme určiť pravdivosť, pretože sa ešte nestalo, ale môžeme o pravdivosti uvažovať. Niekedy sa výroky týkajúce budúcnosti označujú ako hypotézy.
Tretia veta tiež nie je výrok. Možno síce odpovedať, či áno alebo nie, ale ak som nikdy šaty nenosila, môžem odpovedať nie, ale potom vyjadrenie nemá zmysel, pretože nejde prestať nosiť niečo, čo som nikdy nenosila. Preto nejde o výrok.
Obsah výroku voláme propozícia. Pod pojmom premenná chápeme výraz nadobúdajúco ľubovoľné hodnoty z určitého, vopred stanoveného, oboru. Výrokové premenné môžu reprezentovať ľubovoľný výrok a označujeme ich veľkými tlačenými písmenami – A, B, C, D, ...atď.
Každý operátor, ktorý spája výroky do komplexnejších (zložených) výrokov, voláme logická spojka. Jednoduchý výrok je taký výrok, ktorý neobsahuje logické spojky.
Formulami výrokovej logiky voláme také výrazy, ktoré vzniknú spojením výrokových premenných logickými operátormi, pokiaľ sú správne utvorené. Po dosadení konkrétnych výrokov (pravdivostných hodnôt) do výrokových premenných formula nadobudne pravdivostnú hodnotu. Formuly označujeme malými písmenami gréckej abecedy – t. j. α, β, ….
Matematická logika operuje bežne s výrokovými spojkami. Základné štyri binárne spojky sú
∧ , ∨, ⇒, ⇔:
-
A ∧ B je konjunkcia výrokov, čítame: „výrok A a (súčasne) výrok B“ , napr. Prší a zároveň svieti slnko.
-
A ∨ B je disjunkcia výrokov, čítame: „výrok A alebo výrok B“, napr. Prší, alebo svieti slnko.
-
A ⇒ B je implikácia výrokov, čítame „ak výrok A, potom výrok B“ , napr. Ak je číslo deliteľné desiatimi, potom je deliteľné i piatimi.
-
A ⇔ B je ekvivalencia výrokov, čítame: „výrok A práve vtedy, keď výrok B“ , napr.: Plaváreň je zatvorená práve vtedy, keď je 19 hodín večer.
Pozn.: Ako symbol ekvivalencie sa používa i „≡“ Ak A≡B, hovoríme že výroky A a B sú logicky ekvivalentné – tvrdia to isté, t.j v každej situácii majú rovnakú pravdivostnú hodnotu (logická ekvivalencia)
Ďaľšou bežnou výrokovou spojkou je negácia – označuje sa čiarkou A', alebo pomocou symbolu ¬A.
Pri riešení úloh z výrokovej logiky, keď máme dokázať ekvivalenciu dvoch formúl, používame často tabuľkovú metódu, kedy zostavíme tabuľku pravdivostných hodnôt. Ak dané formuly obsahujú spolu „n“ rôznych premenných - riadkov v tabuľke bude 2n – toľko totiž existuje rôznych dosadení pravdivostných hodnôt do týchto premenných. Do prvých n-stĺpcov napíšeme pravdivostné hodnoty, ktoré jednotlivé premenné nadobúdajú pri daných dosadeniach. Do posledných stĺpcov zapíšeme pravdivostné hodnoty, ktoré nadobudnú dve formuly, ktorých ekvivalenciu máme dokázať. Do ostatných stĺpcov môžeme zapisovať „medzivýsledky“.
Negácia výroku
Pod pojmom negácia výroku A chápeme zmenu jeho pravdivostnej hodnoty. Negácia je teda výrok, ktorý tvrdí, že stav vecí nie je taký ako ho popisuje výrok A; t. j. tvrdí presný opak toho čo výrok A.
Znamená to, že ak je výrok A pravdivý, negácia výroku A bude nepravdivá, a naopak (0 →1; 1 → 0).
Napr. majme výrok: Vonku sneží. Negáciou tohto výroku bude: Vonku nesneží. Alebo: Nie je pravda, že vonku sneží.
Vieme už, že negáciu označujeme symbolom ¬, ktorý voláme negátor. Potom „¬A“ je negácia výroku A.
Pravdivostná hodnota výrokov A, ¬A má vždy opačné pravdivostné hodnoty, nemôžu byť naraz pravdivé alebo nepravdivé, teda protirečia si. Vravíme teda, že sú kontradiktorické.
¬¬A – dvojitá negácia, teda negácia ¬A. Dvojitá negácia je ekvivalentná s pôvodným výrokom.
Príklady zložitejších negácii: V príklade použijeme rožky. Ľubovoľný celočíselný počet si označíme P.
Výrok: V taške mám práve P rožkov.
Negácia výroku: V taške mám najviac P-1 rožkov, alebo aspoň P + 1 rožkov.
Pojmom „práve“ vyjadrujeme, že rožkov je presne P, teda napr. presne 7. V prípade, že budem mať v taške presne 7 rožkov, opak tohto stavu je iný počet rožkov v taške ako 7. Podľa vyššie uvedeného teda buď najviac 6 alebo aspoň 8. Negáciou výroku: „V taške mám práve 7 rožkov.“ je teda výrok: „V taške mám najviac 6 rožkov, alebo aspoň 8 rožkov.“
Výrok: V taške mám najviac P rožkov.
Negácia výroku: V taške mám aspoň P + 1 rožkov.
Ak by sme si za písmeno P dosadili napr. 5, dostali by sme výrok: „V taške mám najviac 5 rožkov.“ Teda v taške mám 1, 2, 3, 4, alebo 5 rožkov. Negáciou výroku potom bude: „V taške mám aspoň 6 rožkov“. Teda 6 alebo viac.
Výrok: Každý rohlík v mojej taške je cereálny.
Negácia výroku: Aspoň jeden rohlík v mojej taške nie je cereálny.
Výrok: Na tobogán majú vstup povolené len osoby vysoké aspoň 150 cm.
Negácia výroku: Na tobogán majú vstup len osoby vysoké menej ako 150 cm.
Ak si označíme výšku h, môžeme napísať:
Výrok: h ≥ 150 cm
Negácia výroku: h <150 cm.
Konjunkcia
Konjunkciou dvoch výrokov A, B voláme výrok „A a B“. Pravdivá je vtedy, ak sú obe jej zložky pravdivé, v opačnom prípade je nepravdivá. Zapisujeme A ∧ B (teda, výrok A a súčasne i výrok B), pričom operátorl ∧ voláme konjunktor.
Pre konjunkciu platí asociatívny zákon: (A ∧ B) ∧ C ≡A ∧ (B ∧ C). T.j.: konjunkcia viacerých výrokov je pravdivá vtedy, ak sú všetky tieto výroky pravdivé; v opačnom prípade je nepravdivá.
Tab. 1: Konjunkcia – tabuľka pravdivostných hodnôt dvoch výrokov
-
A
B
A ∧ B
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Pre prvý riadok platí napr.:
Výrok A: Číslo 15 je nepárne. (1)
Výrok B: Číslo 15 je deliteľné tromi. (1)
A ∧ B: Číslo 15 je nepárne a súčasne deliteľné tromi. (1)
Pre druhý riadok platí napr:
Výrok A: Číslo 3 je prvočíslo. (1)
Výrok B: Číslo 3 je párne. (0)
Konjunkcia výrokov A a B (A ∧ B): Číslo 3 je prvočíslo a súčasne je párne.
Konjunkcia negácie:
Negácia výroku A: Číslo 3 nie je prvočíslo.
Negácia výroku B: Číslo 3 nie je párne.
(A ∧ B): Číslo 3 je prvočíslo a súčasne je párne.
¬ (A ∧ B): Možno zapísať niektorým z nasledujúcich zápisov:
A ⇒ ¬ B: Ak číslo 3 je prvočíslo, potom nie je párne.
B ⇒ ¬ A: Ak číslo 3 je párne, potom nie je prvočíslo.
¬ A ∨ ¬ B Číslo 3 nie je prvočíslo alebo nie je párne.
¬ (A ∧ B) je rovná A ⇒ ¬ B je rovná B ⇒ ¬ A je rovná ¬ A ∨ ¬ B
Zopakujte si:
1. Urč či ide o výrok a zdôvodni, prípadne urč jeho pravdivostnú hodnotu: a) „Na Mesiaci existuje život.“ b) a + b = 72. Utvor negáciu výroku: Tento komín je najvyšší v meste.
3. Aké sú pravdivostné hodnoty A, B, ak platí konjunkcia A ∧ B.
Použitá literatúra:
http://sk.wikipedia.org/wiki/V%C3%BDrokov%C3%A1_logikahttp://www.matweb.cz/vyroky-priklady#gsc.tab=0
http://www.nabla.cz/soubory/matematika/vyrokova-logika-1.pdf
http://www.nabla.cz/soubory/matematika/vyrokova-logika-2.pdf
http://www.matweb.cz/vyroky#gsc.tab=0
http://new.dcs.fmph.uniba.sk/files/texty/ZbierkaUlohZVyrokovejLogiky.pdf
http://theoriginal1701.hubpages.com/hub/De-Morgans-Laws