Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

 

 

Mnohočleny

martinkovicova

An, an-1,... – koeficienty

n – stupeň mnohočlena. „n“ zodpovedá najvyššej mocnine mnohočlena, kde an nie je rovné 0

 

Sčítanie mnohočlenov:      

axn + bxn = (a + b)xn

nulové členy (0x0) – vynechávame (nezapisujeme)

 

Odčítanie mnohočlenov:

Podobné ako sčítanie, len druhý mnohočlen vynásobíme „-1“ – teda zmeníme všetky znamienka. („-„ pred zátvorkou → znamienka v zátvorke sa zmenia na opačné).

 

Násobenie mnohočlenov:

Násobíme každý člen prvého mnohočlena každým členom druhého mnohočlena (každý člen každým). Koeficienty násobime ako „klasické“ reálne čísla. Exponenty premenných iba sčítame – ako pri počítaní s mocninami (pravidlá počítania s mocninami).

 

martinkovicova



Úprava mnohočlenov:

Ide o úpravu mnohočlena na jednoduchší tvar. Používa sa napr. rozširovanie, krátenie, vytýkanie, aplikácia vzorcov: 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;                                (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3                    (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b).(a – b) = a2 – b2

(a – b).(a2 + ab + b2) = a3 – b3                       (a + b).(a2 – ab + b2) = a3 + b3

 

 

Lomené výrazy (resp. algebraické zlomky)

  • výrazy, ktoré v menovateli obsahujú premennú, resp. premenné, t.j.

           martinkovicova

  • nemá zmysel, ak menovateľ nadobúda nulovú hodnotu.

  • pri úpravách dbáme, aby sme uviedly, pre ktoré hodnoty premenných výraz nemá zmysel.

  • pri zjednodušovaní lomených výrazov používame rovnaké postupy, ako ked upravujeme mnohočleny, t.j. vytýkanie, a pod.

  • krátiť môžeme len v súčine

  • pri umocňovaní a odmocňovaní zvlášť umocňujeme/odmocňujeme čitatele a zvlášť menovatele

 

martinkovicova

 

 

Lineárne rovnice a ich sústavy

  • rovnice = rovnosť dvoch matematických výrazov s rovnakou premennou (neznámou)

  • každá rovnica s jednou neznámou má práve jedno riešenie – koreň

  • riešenie overujeme skúškou (ľavá strana sa musí rovnať pravej strane rovnice)

  • pri riešení rovníc (nie iba lineárnych) používame tieto úpravy (u):

U1: úprava strán rovnice

U2: výmena ľavej a pravej strany rovnice

U3: pripočítanie/odčítanie rovnakého čísla k obidvom stranám rovnice

U4: vynásobenie/vydelenie oboch strán rovnice rovnakým číslom

U5: pripočítanie/odčítanie rovnakého výrazu k obom stranám rovnice

U6: vynásobenie obidvoch strán rovnakým výrazom

 

U2 – U4 → nemenia korene rovnice → ekvivalentné úpravy.

Lineárna rovnica s 1 neznámou: taká, ktorú možno upraviť na tvar: a.x + b = cx + d (a, b – nenulové čísla; c, d – ľubovoľné čísla)

Lineárna rovnica s 2 neznámymi: taká rovnica, ktorú možno upraviť na tvar: ax + by = c; (a, b – nenulové čísla)

 

Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi:

 

ax + by = c

kx + ly = m                                

(a, b, c, k, l, m → čísla)

 

  • takáto sústava môže mať jedno riešenie, ktoré tvorí dvojica usporiadaných čísel; alebo nemá riešenie, alebo má nekonečne veľa riešení

  • metódy riešenia:

    • dosadzovacia metóda: z jednej rovnice vyjadríme jednu neznámu a dosadíme do druhej rovnice → 1 rovnica s 1 neznámou, ktorú vypočítame → dosadíme do prvej rovnice a vypočítame druhú neznámu

    • sčítacia metóda: rovnice vynásobíme tak, aby sa po následnom sčítaní jedna neznáma vylúčila

    • grafická metóda: z obidvoch rovníc vyjadríme y → nakreslíme grafy jednotlivých lineárnych funkcií → riešením sústavy sú súradnice priesečníkov (rovnobežné a rôzne grafy – sústava nemá riešenie; totožné grafy – sústava má nekonečne veľa riešení)

    • porovnávacia metóda: z obidvoch rovníc vyjadríme rovnakú neznámu a vytvoríme novú rovnicu.

 

Riešenie slovných úloh:

  • vyberieme najvhodnejšiu veličinu, ktorú budeme považovať za neznámu – označíme napr. x

  • vzťahmi  medzi veličinami vyjadríme zvyšné veličiny pomocou neznámej

  • zostavíme rovnicu

  • ekvivalentnými úpravami vyriešime rovnicu

  • urobíme skúšku správnosti

 

 

Nerovnice

  • ekvivalentné úpravy ako pri rovniciach

  • pri násobení/delení záporným číslom prevraciame vzťah nerovnosti teda: (≥ sa mení na ≤;  ≤ → ≥;  < → >; > → <)

  • riešením sú všetky hodnoty premennej, pre ktoré uvedená  nerovnosť platí

  • obvykle postupujeme tak, že:

         1. zjednodušíme obe strany nerovnice

         2. ekvivalentnými úpravami upravíme nerovnice tak, aby sme dostali nerovnicu                     a . x < b, a . x > b, a . x ≥ b, alebo a . x ≤ b,

 

Intervaly reálnych čísiel môžu mať jeden z nasledujúcich tvarov: (a, b – reálne čísla, a < b):

martinkovicova

 

 

Riešenie nerovníc pre jednotlivé znaky, v závislosti od znamienka koeficienta a:

ax < b

ak a > 0,  riešenie je z intervalu (-∞, b/a)

ak a < 0  (b/a, ∞)

 

ax ≤ b

ak a > 0,  (-∞, b/a]

ak a < 0  [b/a, ∞)

 

ax > b

ak a > 0, (b/a, ∞)

ak a < 0, (-∞, b/a)

 

ax ≥ b

ak a > 0, [b/a, ∞)

ak a < 0, (-∞, b/a]

 

Ak a = 0 nerovnica v závislosti od hodnoty b buď nemá riešenie, alebo riešením sú všetky čísla. Napr. pre ax > b nerovnica nemá riešenie, ak b > 0 alebo riešením sú všetky čísla, ak b < 0.

 

 

 

Otázky:

1. Definuj mnohočlen (polynóm).

2. Čo platí pre násobenie mnohočlenov?

3. Aké úpravy rovníc/ nerovníc sú ekvivalentné a prečo?

4. Ako postupujeme pri riešení lineárnych rovníc?

 

 

 

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky

http://www.matweb.cz/mnohocleny#gsc.tab=0

http://cs.wikipedia.org/wiki/Interval_%28matematika%29

Koreňová, L.: Zvládni prijímacie skúšky na stredné školy ľahšie a úspešnejšie, Aktuell, Bratislava, 2007

Kupka, P.: Prehľad matematiky pre ZŠ, Kupka, Praha, 2011

 

 

 

Zdroje obrázkov:

http://calculus.nipissingu.ca/tutorials/sets.html