Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika – (zhrnutie pojmov a vzťahov) I.

Vypracovala: Mária Martinkovičová

I. Kombinatorika

• zaoberá sa vytváraním k- prvkových skupín z n -prvkovej množiny i určovaním počtu týchto skupín

• zásadné princípy pri vytváraní skupín:

• na poradí prvkov vo vybranej skupine záleží alebo nezáleží

• prvky sa vo vybranej skupine môžu alebo nemôžu opakovať

• Základné kombinatorické pravidlá: (používame ich súčasne alebo samostatne)

• pravidlo súčtu Ak sú A₁, A₂, …, A_n konečné množiny, ktoré majú po rade prvkov p₁, p₂, …, p_n, a ak sú každé dve množiny vzájomne disjunktné, tak počet prvkov množiny A₁∪ A₂∪ … ∪ A_n , je rovný p₁ + p₂ + … + p_n.

• pravidlo súčinu - pri tvorbe usporiadaných k - tic hovorí: Počet všetkých možných usporiadaných k – tic (dvojíc, trojíc,...) ktorých 1. člen je možné vybrať práve n₁ spôsobmi, 2. člen po výbere prvého člena práve n₂ spôsobmi, ... až k- ty člen po výbere (k - 1) - ho člena práve n_k spôsobmi, je rovný súčinu: n₁ . n₂ . n₃ . n_4.......n_k

• pri kombinatorických úlohách často používame n faktoriál – n!: n! = 1 . 2 . 3 . ... . n

• variácie bez opakovania: (V_k (n) ⟹ počet všetkých k – členných variácií) k-členná variácia z n-prvkov = usporiadaná k-tica; v tejto k-tici sa žiadne dva prvky neopakujú; t.j. na poradí prvkov záleží

• variácie s opakovaním: (V´_k (n) ⟹ počet všetkých k – členných variácií s opakovaním z n prvkov) k-členná variácia s opakovaním z n-prvkov = usporiadaná k-tica; v tejto k-tici sa každý prvok vyskytuje najviac k -krát

• permutácie bez opakovania: (P_n⟹počet všetkých permutácií) permutácia z n prvkov = n – členná variácia z n- prvkov (do skupiny povyberáme všetkých n-prvkov – meníme len ich poradie)

• permutácie s opakovaním: (P´_{k1,k2,k3,...kn}⟹ počet všetkých permutácií s opakovaním z n prvkov; jednotlivé prvky sa v nich opakujú k₁, k₂, k₃, ...k_n–krát) k-členná permutácia s opakovaním z n- prvkov = usporiadaná k-tica zostavená z týchto prvkov; každý prvok sa v nej vyskytuje aspoň jeden krát

• kombinácie bez opakovania: (C_k⟹ počet všetkých k-členných kombinácií) k-členná kombinácia z n prvkov = neusporiadaná k-tica, ktorá je zostavená z týchto n- prvkov a to tak, že každý prvok sa v nej vyskytuje maximálne raz; t.j. na poradí prvkov v skupine nezáleží.

• kombinácie s opakovaním: (C´_k⟹ počet všetkých k-členných kombinácií s opakovaním z n prvkov) k-členná kombinácia s opakovaním z n prvkov = neusporiadaná k-tica, ktorá je zostavená z týchto n- prvkov a to tak, že každý prvok sa v nej vyskytuje maximálne k-krát

Vlastnosti a vzťahy kombinačných čísiel

• Binomická veta - dôležitá matematická veta; vďaka nej môžeme n-tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov n+1 sčítancov; platí pre všetky a, b ϵ R; n ϵ N

• Pascalov trojuholník - geometrické usporiadanie kombinačných čísel do tvaru trojuholníka; môžeme zapísať: krajné čísla sú 1 a každé ďalšie číslo v schéme sa rovná súčtu čísel bezprostredne nad ním

Použitá literatúra:

http://carolina.mff.cuni.cz/~jana/kombinatorika/01pravidlosouctu.htm

http://sk.wikipedia.org/wiki/Pascalov_trojuholn%C3%ADk

http://www.statpedu.sk/files/documents/katalog%20cielovych%20poziadaviek/matematika_

cp.pdf

Červinková, P. - Čermák, P.: Zmaturuj! z matematiky, Didaktis, Bratislava, 2004

vlastné poznámky

Zdroje obrázkov:

http://christopherolah.wordpress.com/2011/08/29/understanding-pascals-triangle/