Vypracovala: Mária Martinkovičová
Príklady si najskôr skús vypočítať sám, potom si ich riešenie over. Zadania sú podobné príkladom, ktoré sa už na prijímacích pohovoroch, prevažne na gymnáziá, vyskytli.
Zadania:
1. Daná je kružnica s vpísaným pravidelným osemuholníkom. Koľko pravouhlých trojuholníkov je možné do nej zostrojiť tak, aby vrcholy osemuholníka boli súčasne vrcholmi týchto trojuholníkov?
2.Tabuľka ukazuje rozloženie známok z polročnej písomky z matematiky žiakov všetkých deviatych tried.
-
známka
1
2
3
4
5
chlapci *
2
3
8
7
5
dievčatá*
4
6
7
5
1
*počet chlapcov/dievčat, ktorí danú známku dostali
Vypočítaj/urč:
a) priemernú známku všetkých žiakov
b) priemernú známku chlapcov
c) koľko dievčat dostalo lepšiu známku ako je priemerná známka chlapcov
d) geometrický priemer známok dievčat
e) modus a medián (súboruznámok)
f) relatívnu početnosť jednotlivých známok v celej triede
g) absolútnu početnosť jednotlivých známok v celej triede
h) pomocou histogramu porovnaj známky dievčat a chlapcov
3. Majme tri úsečky s dĺžkami 4, 6, 7 cm. Koľko rovnoramenných alebo rovnostranných trojuholníkov z nich môžeme zostrojiť?
4. Traja slovenský študenti Andrej, Miro a Zuzana získali na medzinárodných olympiádach 3 medaily – zlatú, striebornú a bronzovú. Medzinárodné olympiády boli z predmetov matematika, chémia a fyzika. V akom poradí sa umiestnili títo študenti, ak vieme, že Andrej si zmeral vedomosti z chémie, Zuzana nevie vôbec matematiku, no získala striebornú medailu a Miro nezískal zlatú medailu? V akých predmetoch študenti súťažili?
Riešenia:
1. Musí ísť o Tálesovú kružnicu, pre ktorú (viď obr. 1) platí, že je to množina vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou DH, okrem obodov DH.
Prepona hladaných trojuholníkov musí prechádzať stredom kružnice; počet takýchto úsečiek – prepôn je v našom prípade 4: AE, BF, CG, DH. Nad a pod každou z nich sú po tri pravouhlé trojuholníky, teda spolu 6.
Možno teda zostrojiť (4 x 6) = 24 pravouhlých trojuholníkov tak, aby ich vrcholy boli súčasne vrcholmi osemuholníka.
Obr. 1: v ľavo: pravouhlé trojuholníky nad preponou DH, (DHG, DHF, DHE); v pravo: nad aj pod preponou DH, spolu 6
2.
a)
Priemer známok vypočítame tak, že ich súčet vydelíme ich počtom:
b)
c)
Priemerná známka chlapcov je 3,4, preto lepšiu známku má každé dievča, ktoré dostalo známku 1 (4 dievčatá), 2 (6) alebo 3 (7), teda spolu 17 dievčat.
d)
Geometrický priemer počítame podľa vzorca:
n = 23
x1, x2,....jednotlivé známky; do vzorca v našom príklade napr. známku „1“ nezapíšeme 1 . 1 . 1 . 1 (4 dievčatá dostali jednotku), ale napíšeme 14.
e)
Pre určenie modusu a mediánu si známky zoradíme podľa veľkosti.
111111222222222333333333333333444444444444555555
Modus = najčastejšia známka (známka s najväčšou početnosťou) = 3
Medián = prostredná hodnota pri usporiadaní podľa veľkosti = 3
f) a g)
|
známka |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
chlapci * |
2 |
3 |
8 |
7 |
5 |
|
dievčatá* |
4 |
6 |
7 |
5 |
1 |
|
relat. p.** |
0,125 |
0,19 |
0,31 |
0,25 |
0,125 |
|
absol. p.*** |
6 |
9 |
15 |
12 |
6 |
*počet chlapcov/dievčat, ktorí danú známku dostali
**relatívna početnosť
***absolútna početnosť
h)
3.
Rovnoramenný trojuholník = dve strany rovnaké
Rovnostranný trojuholník = všetky strany rovnaké
Musí platiť trojuholníková nerovnosť, teda musí platiť ǀb - cǀ < a < b + c
Ideme kombinovať jednotlivé dĺžky strán: 4 cm, 6 cm, 7 cm
|
strana |
trojuholníková nerovnosť |
platí/neplatí |
||
|
a |
b |
c |
ǀb - cǀ < a < b + c |
|
|
4 |
4 |
4 |
ǀ4 - 4ǀ < 4 < 4 + 4 |
platí |
|
4 |
4 |
6 |
ǀ4 - 6ǀ < 4 < 4 + 6 |
platí |
|
4 |
4 |
7 |
ǀ4 - 7ǀ < 4 < 4 + 7 |
platí |
|
6 |
6 |
6 |
ǀ6 - 6ǀ < 6 < 6 + 6 |
platí |
|
6 |
6 |
4 |
ǀ6 - 4ǀ < 6 < 6 + 4 |
platí |
|
6 |
6 |
7 |
ǀ6 - 7ǀ < 6 < 6 + 7 |
platí |
|
7 |
7 |
7 |
ǀ7 - 7ǀ < 7 < 7 + 7 |
platí |
|
7 |
7 |
4 |
ǀ7 - 4ǀ < 7 < 7 + 4 |
platí |
|
7 |
7 |
6 |
ǀ7 - 6ǀ < 7 < 7 + 6 |
platí |
|
4 |
6 |
7 |
ǀ6 - 7ǀ < 4 < 6 + 7 |
platí |
Možno zostrojiť 9 trojuholníkov – 10.ty, i keď trojuholníková nerovnosť platí, nie je rovnoramenný, resp. rovnostranný.
4.
Vieme, že Andrej súťažil v chémii a Zuzana skončila na druhom mieste. Máme teda dve možnosti:
1. Andrej 2. Zuzana 3. Miro alebo
1. Miro 2. Zuzana 3. Andrej
Ak doplníme predmety:
1. chémia – Andrej
2. fyzika – Zuzana (vieme zo zadania)
3. Matematika – Miro (strieborná medaila je „obsadená“, a zo zadania vieme, že nezískal zlatú medailu)
Zlatú medailu získal Andrej, ktorý súťažil v chémii, Zuzana si zmerala vedomosti z fyziky a získala striebornú medailu a Miro sa na olympiáde z matematiky umiestnil na 3. mieste.
Zopakujte si:
1. Vypočítaj geometrický priemer zo súboru známok, ktoré dostali chlapci (príklad 2)
2. Vypočítaj priemernú známku dievčat z príkladu 2 a urči, koľko chlapcov dostalo horšiu známku ako je priemerná známka chlapcov.
Použitá literatúra:
Ištoková, A.: Riešené testy z matematiky na prijímacie skúšky na SŠ, Monitor 9, SPN, Bratislava, 2007
http://www.zkousky-nanecisto.cz/download/gymply-9-asdaw/9-trida.php