Za lineárnufunkciu považujeme každú funkciu na množine R, ktorá je daná tvarom:

y = ax + b

a, b ⟹reálne čísla

 

martinkovicova

Obr.: Graf lineárnej funkcie (v ľavo pre a < 0, v pravo pre a > 0)


martinkovicova

 

Ak a = 0, potom y = b a hovoríme, že ide o konštantnú funkciou.

 

martinkovicova

Obr.: Konštantná funkcia

 

martinkovicova

 

Ak je lineárna funkcia vyjadrená tvarom y = ax, (b = 0), hovoríme o priamej úmernosti.

Grafom každej lineárnej funkcie je v sústave súradníc xypriamka rôznobežná s osou y.

 

Funkciu f voláme rastúcou práve vtedy, ak pre všetky x1, x2 ϵ Df platí:

ak je x1 < x2, tak f(x1) < f(x2)

 

Funkciu f voláme klesajúcou práve vtedy, ak pre všetky x1, x2 ϵ Df platí:

ak je x1 < x2, tak f(x1) > f(x2)

 

Ak je funkcia rastúca, tak je prostá. Ak je funkcia klesajúca, je prostá. Funkcia f je prostá práve vtedy, ak pre všetky x1, x2ϵ Df platí:

ak x1 ≠ x2, tak f(x1) ≠ f(x2)

 

Lineárna funkcia (y = ax + b) je rastúca pre a > 0, klesajúca pre a < 0. Ak a = 0, funkcia nie je prostá.


Pre číslo a platí:

martinkovicova


x1, x2⟹ ľubovoľné, vzájomne rôzne reálne čísla


Ak lineárna funkcia obsahuje vo svojom predpise jednu alebo viac absolútnych hodnôt, v ktorých sú výrazy s premennou, hovoríme o lineárnej funkcii s absolútnou hodnotou.

 

martinkovicova

Obr.: Graf lineárnej funkcie s absolútnou hodnotou

 


Príklad:

Rodina Mačúnkových chce kúpiť 90 kg zemiakov na uskladnenie. V ponukách na internete našli dve zaujímavé ponuky:

I. zemiaky ponúka na predaj ich sused po 1€/kg

II. zemiaky ponúkané predajcom z dediny vzdialenej cca 50 km – po 0,63€/kg, ale na cestu by minuli naviac približne 15€.

Oplatí sa im vycestovať?


Riešenie:

Pre obe ponuky si určíme funkcie vyjadrujúce závislosť y finančných nákladov v eurách od počtu kilogramov zakúpených zemiakov:

I. y = 1x; <0,90>

II. y = 0,63 x + 15, ; <0,90>

 

Zostrojíme grafy funkcií:

martinkovicova


Z obr. vidíme že hodnoty funkcií sa rovnajú pre x0 približne rovnému 42. Pre každé x ϵ (x0, 90) je fII (x) < fI (x), teda

0,63x + 15 < 1x


Môžeme teda povedať, že ak by rodine Mačúnkových by sa oplatilo vycestovať vtedy, ak by chceli kupovať viac ako (približne) 42 kg zemiakov, teda, pri kúpe 90 kg sa im vycestovať oplatí.



Zopakujte si:
1. Kedy je lineárna funkcia rastúca?
2. Čo je to lineárna funkcia s absolútnou hodnotou? Čo tvorí jej graf?
3. Zostroj graf funkcie g: y = -x + 3,5. Z grafu urči všetky reálne x, pre ktoré platí g(x) > 3.


Použitá literatúra:
Odvárko, O.: Matematika pro gymnazia, Funkce: Prometheus, Praha, 1993
Červinková, P. - Čermák, P.: Zmaturuj! z matematiky, Didaktis, Bratislava, 2004

Zdroje obrazkov:
http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.Folders/Barron/unit/Lesson%206/6.html (upravený obr)
http://math.stackexchange.com/questions/88669/is-the-absolute-value-function-a-linear-function