I. Nepriama úmernosť
Nepriama úmernosť = každá funkcia na množine R \ {0}, ktorá je daná tvarom
k ⟹ reálne číslo; k ≠ 0
Napríklad, pri danom obsahu trojuholníka: Koľkokrát sa zväčší dĺžka jednej odvesny, toľkokrát sa zmenší dĺžka druhej odvesny. Teda, dĺžka jednej odvesny je nepriamo úmerná dĺžke druhej odvesny.
Grafom takejto funkcie je rovnoosá hyperbola: f: y = k/x; k ≠ 0
a) k > 0
Obr. 1: Graf funkcie y = 1/x; (k = 1 ⟹k > 1); Df ϵ R - {0}; funkcia je klesajúca v (- oo, 0) a v (0, +oo). Nie je obmedzená ani zhora, ani zdola, nemáminimum ani maximum. Je nepárna.
a) k < 0
Obr. 2: Graf funkcie y = -1/x; (k = -1 ⟹k < 1); Df ϵ R - {0}; funkcia je rastúca v (- oo, 0) a v (0, +oo). Nie je obmedzená ani zhora, ani zdola, nemáminimum ani maximum. Je nepárna.
Príklad:
Načrtni graf funkcie f: y = -0,5/x!
Riešenie: Podmienky: x ≠ 0, t.j. Df = R - {0}
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
|
y |
1/6 |
1/5 |
1/2 |
1 |
nie je definovaná |
-1 |
-1/2 |
-1/5 |
-1/6 |
Obr.: Graf funkcie y = -0,5/x
II. Lineárna lomená funkcia
Lineárnou lomenou funkciou nazývame každú funkciu na množine R \{-d/c}, ktorá je vyjadrená tvarom:
a, b, c, d – reálne čísla
c ≠ 0, ad – bc ≠ 0
Grafom lineárnej lomenej funkcie je hyperbola, ktorú získame z grafu funkcie y= k/x posunutím.
Pri konštrukcii grafu lineárnej lomenej funkcie s absolútnou hodnotou využívame metódu nulových bodov.
Príklad:
Načrtni graf funkcie y = (2x + 3)/(x – 1) a vyšetri ju.
Riešenie:
Podmienky: x ≠ 1 ⟹ Df = R - {1}
Priesečník s osou x: Px:
y = 0
2x + 3 = 0
x = -3/2 ⟹Px [-3/2, 0]
Priesečník s osou y: Py:
x = 0
y = 3/(-1)
y = -3 ⟹Py[0, -3] Obr.: Graf funkcie y = (2x + 3)/(x – 1). Priamky y = 2 a x = 1 sú asymptomatami funkcie f. Grafom funkcie je hyperbola, ktorej stred je v bode [1; 2]. Funkcia je klesajúca v intervale (-oo, 1) a v (1, +oo)
III. Polynomické a racionálne funkcie
Racionálna funkcia je každá funkcia, ktorá je daná tvarom:
m, n ⟹ celé nezáporné čísla
am,..., an⟹ reálne čísla
bn ≠ 0
Tieto funkcie sú definované na množine všetkých tých x z množiny reálnych čísel, ktoré nie sú koreňmi rovnice bnxn + bn-1xn-1+....+b1x + b0 = 0.
Polynomické funkcie sú špeciálnym prípadom racionálnych funkcií; ich definičným oborom je množina reálnych čísel R.
Príkladom polynomických funkcií sú funkcie lineárne a kvadratické, funkcia nepriama úmernosť je príkladom racionálnej funkcie, ktorá nie je polynomická.
Obr.: Grafy polynomických funkcií f: y = x3+ x2 + x + 1 a g: y = - x3+ x2 + x + 1
Obr.: Príklad racionálnej funkcie
Zopakujte si:
1. Načrtni graf funkcie y = 3/x2. Vyšetri funkciu y = (3-2x)/x
Použitá literatúra:
Vlastné poznámkyhttp://sk.wikipedia.org/wiki/Nepriama_%C3%BAmernos%C5%A5
Odvárko, O.: Matematika pro gymnazia, Funkce: Prometheus, Praha, 1993
Červinková, P. - Čermák, P.: Zmaturuj! z matematiky, Didaktis, Bratislava, 2004