Zhrnutie planimetrie I

Vypracovala: Mária Martinkovičová

Prehľad vlastností a vzťahov z planimetrie podľa Cieľových požiadaviek na vedomosti a zručnosti maturantov z matematiky (SPU, 2009):

I. Základné rovinné útvary

Rozdelenie uhlov vzhľadom na ich polohu:

Obr. 1

Z obr. 1 vidíme, že:

• súhlasné uhly a tiež striedavé uhly pri dvoch rovnobežkách sú rovnaké

• vrcholové uhly sú rovnaké

• súčet susedných uhlov je rovný 180°

b) trojuholník

- trojuholníková nerovnosť: úsečky s dĺžkami a, b, c sú stranami trojuholníka vtedy, ak platí: ǀb - cǀ < a < b + c

- súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°

- pre každý trojuholník platí, že oproti dlhšej strane leží väčší vnútorný uhol a oproti väčšiemu vnútornému uhlu leží dlhšia strana

- ťažnica trojuholníka = úsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany – S_x (x = strana trojuholníka, napr. a, b, c); miesto, kde sa ťažnice pretínajú = ťažisko trojuholníka – T. Platí pritom, že vzdialenosť ťažiska od vrcholov trojuholníka je rovná dvom tretinám príslušnej ťažnice, napr., pre trojuholník ABC platí:

ǀS_aTǀ = 1/3 t_a ˄ ǀATǀ = 2/3 t_a

(podobne pre ostatné ťažnice)

• kružnica opísaná trojuholníku – taká kružnica, ktorá prechádza každým jeho vrcholom, (jej polomer = r) a jej stred je priesečník osí strán trojuholníka.

• kružnica vpísaná trojuholníku – taká kružnica, ktorá sa dotýka každej zo strán trojuholníka, (jej polomer = ρ) a jej stred je priesečník psí vnútorných uhlov daného trojuholníka

   

Obr.: a) kružnica opísaná b) kružnica vpísaná trojuholníku

• obsah trojuholníka S ABC vypočítame:

• pre každý pravouhlý trojuholník ABC platí Pythagorova veta: a² + b² = c²

• kosínusová veta: a² = b² + c² – 2bc cosα; b² = a² + c² – 2ac.cosβ; c² = a² + b² – 2ab.cosγ

• sínusová veta: hovorí, že pomer všetkých dĺžok strán a hodnôt sínusov im protiľahlých uhlov je v v trojuholníku konštantný:

• zhodnosť trojuholníkov: dva trojuholníky sú zhodné, ak ich možno premiestniť tak, že splývajú; vety o zhodnosti trojuholníkov:

• „sss: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo všetkých stranách, sú zhodné.

• sus: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom sú zhodné.

• usu: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch k nej priľahlých sú zhodné.

• Ssu: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle ležiacom oproti väčšej z nich, sú zhodné“.¹

• podobnosť trojuholníkov: trojuholník ABC je podobný s trojuholníkom A´B´C´ vtedy, ak platí také reálne číslo k (k = pomer podobnosti), že:

ǀA´B´ǀ = kǀABǀ ˄ ǀB´C´ǀ = kǀBCǀ ˄ ǀC´A´ǀ = kǀCAǀ, alebo c´= kc ˄ a´ = ka ˄ b´ = kb; ak k > 1 ⟹ zväčšenie; ak k < 1 ⟹ zmenšenie; k = 1 ⟹ trojuholníky sú zhodné

Vety o podobnosti:

• uu – každé dva trojuholníky, ak sa zhodujú v dvoch uhloch, sú podobné.

• sus – každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v pomere dĺžok dvoch strán a uhle nimi zovretom, sú podobné

• Ssu – každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v pomere dĺžok dvoch strán a uhle ležiacom oproti väčšej z nich, sú podobné.

c) Kružnica a kruh

- kružnica k je jednoznačne určená polomerom r a stredom, resp. tromi svojimi bodmi, pričom žiadne tri body kružnice neležia na priamke; je to množina bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S (stred kružnice) konštantnú vzdialenosť - ǀSXǀ = r, r > 0, r ϵ R ⟹k (S;, r)

- úsečku, ktorá spája dva rôzne body kružnice, voláme tetiva

- obsah S = πr², obvodo = 2πr

- Tálesová veta: ak A, B, C sú body na kružnici, kde AC je priemer kružnice, potom uhol ABC je pravý uhol.

- dotykový bod dvoch kružníc – leží na spojnici stredov kružníc; majme dve kružnice k₁(S₁, r₁) a k₂(S₂, r₂) a T je dotykovým bodom kružníc, t je priamka spoločnou dotyčnicou oboch kružníc:

• Ak kružnice majú 0 spoločných bodov - nemajú žiadny spoločný bod

• Ak majú 1 spoločný bod = dotýkajú sa (vonkajší, vnútorný dotyk)

• Ak majú spoločné dva body = pretínajú sa

• Ak majú nekonečne veľa spoločných bodov = splývajú

- vzájomná poloha kružnice a priamky – skúmame prostredníctvom množstva ich spoločných bodov:

• sečnica – priamka, ktorá s kružnicou má dva spoločné body

• dotyčnica – priamka, ktorá má s kružnicou jeden spoločný – dotykový - bod

• nesečnica – priamka, ktorá nemá s kružnicou žiadny spoločný bod

- vzťah pre výpočet dĺžky kružnicového oblúka l:

Zopakujte si:

1. Aký je rozdiel medzi kruhom a kružnicou?

2. Zakresli prehľadne na papier vyššie charakterizované vzájomné polohy dvoch kružníc a vzájomné polohy priamky a kružnice.

Použitá literatúra:

http://www.statpedu.sk/sk/Statny-vzdelavaci-program/Statny-vzdelavaci-program-pre-2-stupen-zakladnych-skol-ISCED-2/Matematika-a-praca-s-informaciami.alej

http://sk.wikipedia.org/wiki/Trojuholn%C3%ADk#Kos.C3.ADnusov.C3.A1_veta

http://sk.wikipedia.org/wiki/Trojuholn%C3%ADk#Kos.C3.ADnusov.C3.A1_veta

http://sk.wikipedia.org/wiki/T%C3%A1lesova_veta

Červinková, P. - Čermák, P.: Zmaturuj! z matematiky, Didaktis, Bratislava, 2004