Vypracovala: Mária Martinkovičová
d) Štvoruholníky a mnohouholníky
- mnohouholník (n – uholník, n > 2) = ohraničený útvar; jeho hranicou je uzavretá lomená čiara, ktorá má n – vrcholov – žiadne dve susedné strany neležia na rovnakej priamke.
- lomená čiara – množina úsečiek, pričom každej jej vnútorným bodom každej jej strany prechádza iba táto strana a každým vrcholom najviac jej dve strany
- štvoruholník – taký mnohouholník, kde n = 4, (prienik 4 polrovín),vrcholy označujeme napr. ABCD, potom jeho strany a, b, c, d, vnútorné uhly α, β, γ, δ, uhlopriečky e – spája vrcholy A a C a f – spája vrcholy B a D
- pravidelný n – uholník
-
má všetky strany rovnako veľké, rovnako aj všetky vnútorné uhly sú zhodné, pre veľkosť každého z nich platí:
-
a každý má počet uhlopriečok:
-
stranu mnohouholníka určujú dva susedné vrcholy
-
susedné strany – majú spoločný vrchol
-
uhlopriečka – úsečka spájajúca dva nesusedné vrcholy, tie sú jej krajnými bodmi
-
vnútorný uhol – určujú dve susedné strany
stredové uhly ω – uhly medzi úsečkami, ktoré spájajú stred mnohouholníka s dvoma susednými vrcholmi
Obr.: stredový uhol
-
pravidelnému mnohouholníku sa dá vpísať aj opísať kružnica
Niektoré ďalšie vlastnosti platiace pre štvoruholníky a mnohouholníky:
-
pre rovnobežník platí, že protiľahlé strany sú rovnobežné a rovnako veľké a protiľahlé uhly sa rovnajú; je stredovo súmerný
-
uhlopriečky kosoštvorca zvierajú pravý uhol- sú a seba kolmé; rozpoľujú vnútorné uhly
-
štvorec a obdĺžnik: uhlopriečky sú zhodné; sú súmerné podľa osí strán
-
kosoštvorec: súmerný podľa uhlopriečok
-
lichobežník: ak je rovnoramenný, je súmerný podľa osí základní a uhlopriečky sú rovnaké, rovnako ako uhly pri základni
-
obsah rovnobežníka počítame buď pomocou strany a príslušnej výšky (súčin) alebo pomocou susedných strán a uhla, ktorý zvierajú; u lichobežníka ho vyjadrujeme pomocou výšky a základní
II. Zhodné a podobné obrazenia
-
stredová súmernosť jednoznačne určená stredom súmernostiS resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi; t.j. stredová súmernosť je zhodné zobrazenie, priraďujúcemu každému bodu – X, X ≠ S bod X´ a to tak, že bod S je stredom úsečky XX´.
-
osová súmernosť – jednoznačne určená osou súmernosti, resp. dvoma si odpovedajúcimi bodmi; t.j. osová súmernosť s osou o (priamka)je zhodné zobrazenie priraďujúce každému bodu X, ktorý neleží na priamke o bod X´ a to tak, že os o zviera s úsečkou XX´ pravý uhol; stred úsečky XX´ leží na priamke o; a každému bodu Y ležiacemu na o bod Y´ tak, že Y = Y
-
otočenie:
-
jednoznačne určené uhlom a stredom otáčania; pri otáčaní polpriamka môže sa ľubovoľne veľa krát otočiť – v kladnom zmysle = proti smeru hodinových ručičiek, alebo v zápornom zmysle = v smere pohybu hodinových ručičiek
-
orientovaný uhol – má usporiadanú dvojicu ramien – jedno rameno je začiatočné a druhé koncové; základnou veľkosťou orientovaného uhla je číslo z intervalu <0, 2π), resp. <0, 360°).
-
Majme orientovaný uhol AVB, jeho základnú veľkosť α – potom veľkosťou orientovaného uhla AVB je každá z hodnôt α + k.360°, príp. α + 2kπ (k je z množiny Z)
-
posunutie:
-
jednoznačne určené vektorom posunutia, príp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi
-
úsečku s usporiadanou dvojicou svojich krajných bodov voláme orientovanou úsečkou, jeden krajný bod = začiatočný, (napr. A),druhý = koncový (napr. B), potom píšeme
a úsečku graficky znázorníme so šípkou na jednom konci.
-
nulová orientovaná úsečka – začiatočný a koncový bod splývajú ⟹ bod
-
translácia – posúvanie – zhodné zobrazenie orientovanej úsečky, ktoré každému bodu X priraďuje bod X´ tak, že orientované úsečky
sú súhlasne orientované a majú rovnakú dĺžku; priamka a jej obraz v posunutí sú vzájomne rovnobežné
Zopakujte si:
1. Aký je rozdiel medzi stredovou a osovou súmernosťou?
2. Koľko uhlopriečok má n-uholník?
Použitá literatúra:
http://www.statpedu.sk/sk/Statny-vzdelavaci-program/Statny-vzdelavaci-program-pre-2-stupen-zakladnych-skol-ISCED-2/Matematika-a-praca-s-informaciami.alej
Červinková, P. - Čermák, P.: Zmaturuj! z matematiky, Didaktis, Bratislava, 2004
Vlastné poznámky