V predchádzajúcom učive (Rezy telies I) sme si ukázali základné pravidlo pri zostrojovaní rezov telies rovinou. V tomto učive si na praktických príkladoch ukážeme aj ostatné – v skutočných príkladoch si so základným postupom nevystačíme.


Príklad 1: Daná je štandardná kocka ABCDEFGH. Zostroj rez kocky rovinou BAK, ak bod K je stred hrany DH.


Riešenie:

I. náčrt mnohostena a známych bodov (obr. 1 vľavo).

martinkovicova

Obr. 1

 

II. Spojíme body AK (ležia v jednej rovine, ktorou je ľavá stena) a AB (obr. 1 v pravo)

 

III. Teraz potrebujeme priesečnicu v pravej a zadnej stene, no v každej z nich máme len jeden bod. Vieme, že zadná stena je rovnobežná s prednou, teda priesečnica v zadnej stene bude rovnobežná s priesečnicou v prednej stene – s úsečkou AB - prechádza bodom K: Na hrane CG tak získame bod L a spojíme body K a L ⟹ priesečnica v ľavej stene:

martinkovicova

 

 

Príklad 2: Zostroj rez štandardnou kockou ABCDEFGH rovinou AHK, ak bod K je stred hrany FB.


Riešenie:

Postup:

a) spojíme body AH – úsečka AH

b) spojíme body AK – úsečka AK

c) zostrojíme rovnobežku s úsečkou AH, prechádzajúcu bodom K

d) priesečník rovnobežky s hranou GH ⟹ bod L

e) úsečka LH

martinkovicova


 

Príklad 3: Daný je nepravidelný hranol (viď obr.). Zostroj rez rovinou KLM, pričom bod K leží na hrane AB, bod L na priamke HG a bod M na priamke HD.

martinkovicova


Riešenie:

Postup konštrukcie rezu roviny KLM:

  • spojíme body M a L(ležia v 1 rovine – zadnej stene hranola) ⟹ úsečka ML

  • predĺžime hranu DC a úsečku LM → priesečník ⟹ bod P1

  • bodmi P1 a K vedieme priamku q (K leží v rovine podstavy) → priesečník q a AD ⟹ bod N (teraz máme rez podstavy)

  • rovnobežka r1s NK (q), r1 prechádza bodom L → priesečník r1a FG ⟹ bod O

  • bodom K vedieme rovnobežku r2s ML → priesečník FB a r2 ⟹ bod R

  • úsečka RO

  • úsečka NM


martinkovicova

Obr.: Rez rovinou KLM


Ak máme zostrojiť rez ihlanu, štvorstena, prekladáme rovinu, ktorá obsahuje jeho hlavný vrchol.


 

Príklad 4: Zostroj rez štvorstena ABCD (obr.) rovinou XYZ.

martinkovicova

Obr.: Štvorsten ABCD: X leží v rovine ACD, Y v rovine ABD a Z v rovine podstavy ABC.


Riešenie:

  • preložením roviny bodmi X a Y a vrcholom D získame obrazy bodov ležiacich v rovine podstavy – tieto obrazy spojíme priamkou, rovnako spojíme priamkou aj body XY → priesečník ⟹ P1

martinkovicova


  • priesečníkom P1 vedieme priamku q cez bod Z ⟹ rez podstavy; priesečník priamky q a úsečky AC ⟹ bod S; priesečník q a AB ⟹ bod T

  • úsečka ST

  • priamka w vedúca bodmi S a X → priesečník w a CD ⟹ bod O

  • priamka r vedúca bodmi T a Y priesečník r a BD ⟹ Q)

  • úsečka OQ

martinkovicova


 

Obrázok k otázke č.2

martinkovicova



Zopakujte si:
1. Zostroj rez štandardnej kocky ABCDEFG rovinou XYZ ak X je stred hrany EH,  Y je stred hrany GH a bod Z leží na hrene BC tak, že veľkosť úsečky CZ je rovná tretine BC.
2. Zostroj rez pravidelným štvorbokým ihlanom rovinou XYZ.

Použitá literatúra:
http://ucebnice.krynicky.cz/Matematika/05_Stereometrie/1_Polohove_vlastnosti/5109_Rezy_teles_rovinou_I.pdf
http://www.km.fpv.ukf.sk/admin/upload_pdf/20121109_103934__0.pdf
http://www.mlynarcikova-gpohkk.yw.sk/rezy%20telies_prac_list/mlynarcikova_list_rezy.doc.
http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%20Matematika%20S%C5%A0/05%20Stereometrie/01%20Poohov%C3%A9%20vlastnosti/10%20%C5%98ezy%20t%C4%9Bles%20rovinou%20II.pdf
http://www.infovek.sk – projekt: Rezy telies, ppt prezentácia
vlastné poznámky

Zdroje obrazkov:
http://etc.usf.edu/clipart/36100/36142/cube_36142.htm
http://etc.usf.edu/clipart/42700/42772/cube-1_42772.htm
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pyramid_%28PSF%29.png
vlastné