Geometrické znázornenie komplexných čísel

Gaussova rovina alebo rovina komplexných čísiel je rovina, ktorej body považuje za obrazy komplexných čísel.

Vzájomné priradenie bodov Gaussovej roviny a komplexných čísel je sprostredkované pomocou kártézskej súradnicovej sústavy Oxy:

• na osi x sú zobrazené reálne čísla – teda komplexné čísla v tvare a + 0i ⟹ reálna os

• na osi y sú znázornené rýdzo imaginárne čísla – teda komplexné čísla v tvare 0 + bi ⟹ imaginárna os

 

Obrazu komplexného čísla budeme pre zjednodušene niekedy hovoriť priamo o čísle z.

Absolútna hodnota komlexného čísla je rovná vzdialenosti obrazu v Gaussovej rovine od začiatku súradnicovej sústavy (obr. 1). Všetky komplexné čísla z, ktoré majú tú istú absolútnu hodnotu, vyplnia v Gaussovej rovine kružnicu, ktorej stred je v počiatku a jej polomer je ǀzǀ.

Obr. 1: Pre absolútnu hodnotu komplexného čísla z = a + bi platí:

 

V prípade rozdielu komplexných čísel, absolútna hodnota tohto rozdielu určuje ich vzdialenosť v Gaussovej rovine.

 

Goniometrický tvar komplexného čísla

Ide o vyjadrenie v tvare:

z = r(cos φ + isin φ);

z ≠ 0

 

φ ⟹ argument komplexného čísla z,

r – jeho absolútna hodnota

 

 

Súčin a podiel komplexných čísiel v goniometrickom tvare

Majme dve nenulové komplexné čísla z₁a z₂:

• ich súčin s argumentmi φ₁ φ₂je rovný komplexnému číslu

r(cosφ + isin φ), kde

r = ǀz₁ǀǀz₂ǀ

φ = φ₁ + φ₂

• ich podiel s argumentmi φ₁ φ₂:

r(cosφ + isin φ), kde

φ = φ₁ - φ₂

 

Dôsledkom tejto vety je:

Vetu o súčine komplexných čísiel v goniometrickom tvare možno zovšeobecniť na násobenie ľubovoľného počtu činiteľov:

r₁(cosφ₁ + isinφ₁) . r₂(cosφ₂ + isinφ₂) . r₃(cosφ₃ + isinφ₃) . r₄(cosφ₄ + isinφ₄) . r_n(cosφ_n + isinφ_n) = r₁ . r₂ . r₃ . r₄ ...r_n [cos(φ₁ + φ₂ + φ₃ +_.....φ_n) + isin (φ₁ + φ₂ + φ₃ +_.....φ_n) ]

 

Moivreova veta

Pre každé komplexné číslo r(cosφ + isinφ) a pre každé prirodzené číslo n platí:

[r(cos φ + isin φ) ]ⁿ = rⁿ (cos nφ + isin nφ)

Ak do uvedenej vety dosadíme za r = 1, dostaneme Moivreovu vetu: Pre každé ľubovoľné reálne číslo φ a pre každé prirodzené číslo n platí

(cosφ + i sinφ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ

Moivreovu vetu využívame pri umocňovaní komplexných čísiel v goniometrickom tvare na prirodzený exponent. Ak chceme umocniť komplexné číslo v algebraickom tvare, zvyčajne ho uvedieme najskôr na tvar goniometrický. Pomocou binomickej vety je výpočet mocniny (a + bi)ⁿpre väčšie n zdĺhavý.

 

Komplexné čísla ako vektory v Gaussovej rovine

Vieme, že pre súčet vektorov u = (a, b), v = (c, d) a pre súčin vektoru u = (a, b) s reálnym číslom k platí:

u + v = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

ku = k(a, b) = (ka, kb)

Komplexné čísla môžeme graficky sčítať a násobiť reálnym číslom tak, že ich zobrazíme v Gaussovej rovine ako vektory a pracujeme s nimi podľa pravidiel o vektoroch. Ľubovoľnému komplexnému číslu z priradíme vektor u = OZ, pričom O je počiatok a Z obraz komplexného čísla z (obr. 3).

Obr. 3

Obraz súčinu komplexného čísla a komplexnej jednotky v Gaussovej rovine zostrojíme tak, že obraz tohto čísla otočíme okolo počiatku o argument komplexnej jednotky.

Obr.: Sčítanie vektorov

Obr.: Násobenie dvoch komplexných čísiel

Zopakujte si:

1. Použitím Moivreovej vety vyjadrite sin5x.
2. Vypočítajte: (cos0,5π + i sin0,5π)29
3. V goniometrickom tvare vyjadrite číslo 1/i

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky
Calda, E.: Matematika pro gymnázia – Komplexní čísla, Prometheus, 1994

Zdroje obrazkov:

http://paulscottinfo.ipage.com/CA2/ca1.html
http://stuleja.org/vscience/materialy/mandelbrot/C.htm