Povrch valca, ihlana, kužeľa a gule v slovných úlohách z praxe.

Príklad 1: Vypočítajte veľkosť povrchu dosky z dubového dreva, ktorej rozmery sú (dĺžka x hrúbka x šírka) 45 cm x 10 mm x 30 cm a je do nej vyvŕtaných 7 otvorov s priemerom 45 mm.

Riešenie:

Nákres:

Doska má tvar kvádra (a = 45 cm, b = 30 cm, c = 1 cm), do ktorého sú vyvŕtané otvory tvaru rotačného valca (r = 2,25 cm, v = 1 cm). To znamená, že pri počítaní veľkosti povrchu dosky musíme od povrchu kvádra S_kvodpočítať 14x obsah kruhu (otvory = rotačné valce ⟹ 7x2 podstáv = 14 kruhov - Sp) a zároveň pripočítať povrch otvorov (7x obsah plášťa rotačného valca S_pl). Teda povrch (obsah) dosky S_dvypočítame:

S_d = S_kv + 7.S_pl – 14.S_p

S_d = 2.(ab + bc + ac) + 7.(2πrv) – 14(πr²)

S_d = 2*(45*30 + 30*1 + 45*1) + 7*(2*3,14*2,25*1) – 14*(3,14*2,25²)

S_d = 2850 + 98,91 – 222,55

S_d = 2726,36 cm² = 27,26 dm²

Povrch dosky má veľkosť 27,26 dm².

Príklad 2: Vypočítajte veľkosť povrchu Zeme, ak ju považujeme za guľu s priemerom 12 740 km.

Riešenie:

d = 12 740 km ⟹ r = 6370 km

S = ?

 

Povrch Zeme, ak ju považujeme za guľu, je približne 5,1 . 10⁸ km².

 

 

Príklad 3: Tri metre vysoký stan má tvar pravidelného štvorbokého ihlana, so štvorcovou podstavou, pričomhrana podstavy je dlhá 3 m. Majiteľ ho chce z vonka naimpregnovať náterom proti premoknutiu. Koľko litrov impregnačného náteru musí kúpiť, ak náter sa predáva len v litrových fľašiach a 1 fľaša postačí na 10 m²?

 

Riešenie:

Stan má tvar pravidelného štvorbokého ihlanu, pričom a = 3 m, v = 1,5 m.Takýto ihlan je zložený z podstavy – štvorca, a štyroch rovnoramenných trojuholníkov (plášť). K výpočtu veľkosti povrchu - S_s budeme potrebovať i veľkosť výšky na a – v_s, ktorú vypočítame pomocou Pytagorovej vety (viď obr.).

 

v_s ² = ½ a² + v²

v_s ² = 1,5² + 1,5²

v_s ² = 4,5

v_s = √4,5 = 2,12 m

S_s = S_p + S_pl

 

Keďže jedna fľaša impregnačného náteru vystačí na 10 m², na naimpregnovanie stanu bude majiteľ musieť kúpiť 3 litrové fľaše náteru.

 

 

Príklad 4: Cisterna na pitnú vodu má tvar valca, ktorého priemer je 1,5 m a dĺžka 4,5 m. Cisternu treba natrieť náterom proti hrdzi. Pollitrová fľaša antikorózneho náteru vystačí na 20 m². Bude stačiť kúpiť jednu fľašu antikorózneho náteru?

 

Riešenie:

d = 1,5 m ⟹ r = 0,75 m

v = 4,5 m

S = ?

S = 2πr(v + r) = 2*3,14*0,75*(4,5 + 0,75) = 24,7275 m²

 

Na natretie cisterny nebude stačiť kúpiť jednu pollitrovú fľašu antikorózneho náteru.

 

 

Príklad 5: Vypočítaj veľkosť vonkajšieho povrchu kotevnej bóje - S_B, ak má zvonku tvar dvoch rotačných kužeľov, spojených 5 cm širokým pásom. Najväčšia dĺžka bóje je 0,75 m a jej najväčšia šírka je 40 cm.

 

Riešenie:

Ideme počítať 2x povrch plášťa rotačného kužeľa, + povrch „stredového pásu“, ktorý keby pomyslene „rozvinieme“ je vlastne obdĺžnik so stranami πd (obvod kruhu), a 5 cm:

S_B= 2πrs + (πd * 5)

s² = r² + v²

s² = 20² + 35²

s² = 400 + 1225

s = 40,31 cm

S_B = 2πrs + (πd * 5)

S_B = 2*3,14*20*40,31 + (3,14*40*5)

S_B = 5690, 936 cm²

Zopakujte si:

1. Vypočítaj povrch nafúkanej fitlopty ak jej priemer je 65 cm.
2. Vypočítaj povrch cestného kužeľa, ak jeho výška je 33 cm a polomer podstavy 15 cm.

Použitá literatúra:

Vlastná

Zdroje obrazkov:

http://www.sailor.sk/kotevna-boja-3-2592
http://www.merrittcartographic.co.uk/earth_structure.html