Goniometrické rovnice sú také rovnice, kedy sa vo vnútri goniometrickej funkcie objavuje neznáma. Základná goniometrická rovnica je každá rovnica zapísaná v tvare g(x) = a, kde g(x) je jedna z goniometrických funkcií, a a, x ϵ R.

Množina všetkých koreňov z intervalu <0; 2π) je základným riešením základnej goniometrickej rovnice.


Goniometrické rovnice sú väčšinou zložitejšie, preto si ich treba upraviť na jednoduchší tvar podľa goniometrických vzorcov:


I. Vzťahy pre periodickosť (a) a párnosť (b) funkcií

a)

sin x = sin (x + 2kπ)

cos x = cos (x + 2kπ)

tg (x) = tg(x + kπ)

cotg (x) = cotg(x + kπ)


b)

sin(-x) = -sin x

cos (-x) = cos x

tg (-x) = -tg(x)

cot g (-x) = -cot g(x)


 

II. Vzťahy medzi funkciami rovnakého (c), pre funkcie dvojnásobného (d) a polovičného (e) argumentu

c)

sin2x + cos2x = 1

tg(x)*cotg(x) = 1 x ≠ k(π/2)


d)

sin 2x = 2sin x * cos x

cos 2x = cos2 x – sin2 x

martinkovicova


e)

martinkovicova



III. Vzťahy pre funkcie súčtu argumentov

sin(x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y

cos(x + y) = cos x * cos y – sin x * sin y

cos(x – y) = cos x * cos y + sin x * sin y

sin(x – y) = sin x * cos y – cos x * sin y

martinkovicova


 

IV. Vzťahy pre súčet a rozdiel funkcií

martinkovicova



Podmienky:

  • pre funkciu sin, cos nie je potrebné udávať

martinkovicova

  • pre kotangens x ≠ kπ


martinkovicova

Obr.: Znamienka hodnôt goniometrických funkcií; jednotková kružnica


Riešenie základných goniometrických rovníc zodpovedá v podstate hľadaniu uhlov k známym hodnotám goniometrických funkcií.

Pri riešení goniometrických rovníc na ich zjednodušenie alebo na zjednodušenie výrazov vo vnútri funkcie používame substitúciu.


Goniometrické nerovnice môžeme, rovnako, ako rovnice, riešiť grafom, i jednotkovou kružnicou – oba spôsoby sú v podstate rovnocenné a majú svoje výhody i nevýhody.

Goniometrické funkcie majú nie sú prosté (podobnosť s kvadratickými funkciami). Riešime ich podobne ako kvadratické rovnice: najskôr vyriešime rovnice a potom získané korene využijeme k nakresleniu obrázku alebo nanesieme do grafu ⟶ rozhodneme o riešení nerovnice.


Ak nerovnica obsahuje dve nerovnosti – existujú dve možnosti riešenia:

  • vyriešime samostatne každú nerovnosť – výsledkom je prienik oboch riešení (obe nerovnosti musia platiť súčasne. Nevýhodou tohto spôsobu je, že graf/kružnicu musíme kresliť dva krát.

  • samostatne vyriešime rovnice a získané uhly nakreslíme do jedného obrázka a rovno určíme riešenie.


Ak je vo vnútri nerovnice zložitejší výraz, používame substitúciou. Pri tomto spôsobe nepoužívame na označenie premennú y, aby sme si ju nezamenili s označením osy y na grafe.


Teda, pri riešení goniometrických nerovníc využívame grafy goniometrických funkcií, prípadne jednotkovú kružnicu a riešenia zodpovedajúcich goniometrických rovníc.



Použitá literatúra:
vlastné poznámky
www.realisticky.cz
http://www.oojih.com/show/trigonometry/generalangle/


Zdroje obrazkov:
www.realisticky.cz
http://www.oojih.com/show/trigonometry/generalangle/