Príklad 1:

Riešte v R rovnicu sin x = 0,5


Riešenie:

Goniometrické rovnice (i nerovnice) možeme riešiť pomocou jednotkovej kružnice alebo grafom príslušnej goniometrickej funkcie.


a) riešenie pomocou grafu funkcie sínus

martinkovicova


b) riešenie pomocou jednotkovej kružnice: 0,5 je kladné číslo – sínus nadobúda kladné hodnoty v I. a II. kvadrante.

martinkovicova

 

Záver: Perióda funkcie sínus je 2kπ. Z oboch riešení (a) i (b) vyplýva teda, že

martinkovicova


 

Príklad 2:

Rieš (pomocou kalkulačky alebo matematických tabuliek): cosx = 1/2


cosx = 0,5 ↔ cosx = cos π/3

t.j.:

martinkovicova



Príklad 3:

cos(2x + π/6) = -1


Riešenie: Ide o zložitejšiu rovnicu, preto použijeme substitúciu – výraz (2x + π/6) nahradíme w.

Teda: (2x + π/6) = w ⟹ cos w = -1, teda, riešenie v základnom tvare je w = π

Výpočet použijeme do substitúcie ⟶ použijeme periódu cosinusu (2kπ):

martinkovicova



Príklad 4:

Rieš rovnicu v R:

martinkovicova


Riešenie:

Pri riešení využijeme vzťahy medzi goniometrickými funkciami (vzťahy medzi funkciami dvojnásobného argumentu a tgx = sinx/cosx) a rovnicu upravíme:

martinkovioca

1 – sinx*cosx = cos2x

1 – cos2x – sinx*cosx = 0

sin2x – sinx * cosx = 0

sinx(sinx – cosx) = 0 ⟶ platí ak sinx = 0, alebo sinx – cosx = 0:

sinx = 0 ...........x = kπ

sinx – cosx = 0

sinx = cosx........


Korene spĺňajú podmienku pre x; k je z množiny Z.



Príklad 5: V R riešte nerovnicu:

martinkovicova


Riešenie: Využijeme vzťahy medzi goniometrickými funkciami a upravíme nerovnicu na tvar:

martinkovicova


  • rovnica nie je definovaná pre cos x = 0

  • pre cosx ≠ 0; x ≠ π/2 + kπ sa nerovnica dá upraviť na tvar ǀtg2xǀ < 1 ......vyriešime graficky – zostrojíme graf funkcie ǀtg2xǀ < 1 a budeme hľadať všetky x z množiny R, pre ktoré f(x) < 1.


martinkovicova


Základné riešenie (viď graf):

martinkovicova



Zopakujte si:
1. Rieš v R: sinx = -√3/2
2. Rieš rovnicu: cosx = -1/2


Použitá literatúra:
vlastné poznámky
www.realisticky.cz
http://www.sportgymke.sk/mvd/ElementarneFunkcie/GrafyLinFunkciSAbsHodnotami.pdf
http://zmaturuj.zones.sk/materialy/maturitne-temy/matematika-teoria/goniometria.pdf


Zdroje obrazkov:
http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/mws7/gonfce/gon1.html
http://sk.wikipedia.org/wiki/Goniometrick%C3%A1_funkcia