Deliteľnosť (teória)

Číslo a je násobkom čísla b, resp. číslo b je deliteľ čísla a,práve vtedy, keď existuje také prirodzené číslo a, že a = k.b.

b/a ⟹ b delí a

Čísla, ktoré majú jediného spoločného deliteľa – číslo 1 – voláme nesúdeliteľné čísla.

Čísla, ktoré majú spoločného deliteľa okrem čísla 1, voláme súdeliteľné čísla.

Všetky prirodzené čísla môžeme zapísať pomocou násobku iných prirodzených čísel. Tak napr. :

• číslo 1 môžeme zapísať

• pomocou násobku čísla 2: 2*0 + 1

• pomocou násobku čísla 3: 3*0 + 1

• pomocou násobku čísla 4: 4*0 + 1

• číslo 3 môžeme zapísať:

• pomocou násobku čísla 2: 2*1 + 1

• pomocou násobku čísla 3: 3*1 + 0

• pomocou násobku čísla 4: 4*0 + 3

• číslo 5 môžeme zapísať:

• pomocou násobku čísla 2: 2*2 + 1

• pomocou násobku čísla 3: 3*1 + 2

• pomocou násobku čísla 4: 4*1 + 1

• číslo 13 môžeme zapísať:

• pomocou násobku čísla 2: 2*6 + 1

• pomocou násobku čísla 3: 3*4 + 1

• pomocou násobku čísla 4: 4*3 + 1

Rozdelenie prirodzených čísel podľa zvyšku po delení dvoma:

1.) zvyšok 0 ⟹ párne čísla – môžeme ich zapísať v tvare 2k + 0 = 2k

2.) zvyšok 1 ⟹ nepárne čísla – môžeme ich zapísať v tvare 2k + 1

Rozdelenie prirodzených čísel podľa zvyšku po delení troma:

1.) zvyšok 0 ⟹ čísla, ktoré sú zapísateľné v tvare 3k + 0 = 3k

2.) zvyšok 1 ⟹ 3k + 1

3.) zvyšok 2 ⟹ 3k + 2

Rozdelenie prirodzených čísel podľa zvyšku po delení štyrmi:

1.) zvyšok 0 ⟹ čísla zapísatelné v tvare 4k + 0 = 4k

2.) zvyšok 1 ⟹ 4k + 1

3.) zvyšok 2 ⟹ 4k + 2

4.) zvyšok 3 ⟹ 4k + 3

⟹ každé prirodzené číslo n možno pomocou prirodzeného čísla b, b ˃ 1, vyjadriť jedným z výrazov:

bk; bk + 1; bk + 2; bk + 3; bk + 4; ......bk + (b – 1)

k je z množiny N₀.

Množiny čísel, ktoré takýmto spôsobom môžeme vyjadriť, hovoríme zvyšková trieda. Teda, napr. prirodzené čísla možno podľa zvyšku po delení troma rozdeliť do troch zvyškových tried: 3k, 3k + 1 a 3k + 2 ⟹ všetky prirodzené čísla môžeme rozdeliť podľa zvyšku po delení číslom k do k skupín.

Súčin n po sebe idúcich prirodzených čísel je isto deliteľný číslom n a všetkými prirodzenými číslami menšími ako n.

Ak nevieme dokázať deliteľnosť zjavným výskytom čísel v súčine alebo úpravou, dokázať môžeme dosadzovaním pomocou zvyškových tried.

Znaky deliteľnosti (známe už zo základnej školy):

Znaky deliteľnosti môžeme rozdeliť do štyroch skupín: deliteľnosť:

• podľa poslednej číslice – 2, 5, 10

• posledného dvojčísla – 4

• ciferného súčtu - 3,9

• deliteľnosti inými číslami – 6

Deliteľnosť zložených čísel musíme vyjadrovať pomocou deliteľnosti nesúdeliteľnými číslami. Napr. prirodzené číslo je deliteľné:

• 12, ak je deliteľné 3 a 4 – nemôžeme použiť 2 a 6, lebo 6 a 2 sú súdeliteľné čísla

• 15, ak je deliteľné 3 a 5

• 18, ak je deliteľné 2 a 9 (nemôžeme 3 a 9 ⟶ súdeliteľné čísla)

Majme ľubovoľné trojciferné číslo, jednotlivé cifry si zľava doprava označíme abc. To môžeme zapísať:

abc = a*100 + b*10 + c = 10(a*10 + b) + c

Potom: ak c = 0 ⟹ číslo abc je deliteľné 10; ak c = 0 alebo 5 ⟹ abc je deliteľné 5, atď.

Všeobecne môžeme povedať, že znaky deliteľnosti súvisia s rozvinutým zápisom čísla v desiatkovej sústave.

Prirodzené čísla môžeme rozdeliť na prvočísla, zložené čísla a jednotku. Prvočísla majú práve dvoch rôznych deliteľov, jednotku a samých seba – 2, 3, 5, 7, 11,.... Je dokázané, že neexistuje najväčšie prvočíslo – najväčším nájdeným prvočíslom je číslo 2^57885161 – 1 ⟹ vyjadrené v desiatkovej sústave má 17 452 170 číslic. Prvočísla majú veľký význam napr. pre šifrovanie.

Zložené čísla sú všetky prirodzené čísla majúce aspoň troch rôznych deliteľov – 6, 9, 12,... Rozložením zloženého čísla na prvočísla dostaneme prvočíselný rozklad.

Číslo 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo – má len jedného deliteľa a to sama seba.

Každé prirodzené číslo n, ktoré je väčšie ako 1, môžeme zapísať jediným spôsobom v tvare

p₁ < p_{2 3} <....._k⟹ prvočísla