Príklad 1:

Zapíš skupiny, do ktorých možno rozdeliť prirodzené čísla podľa zvyšku po delení siedmimi. Ku každej skupine vypíš tie z čísel, ktoré do nej patria (9, 10, 16, 23, 77, 144, 147, 174, 195, 210, 237, 303, 333, 351, 782, 999).


Riešenie:

Po delení siedmimi možno získať šesť rôznych hodnôt zbytku od 0 do 6 ⟹ 7 skupín:


  • 7k + 0 = 7k ............(77, 147, 210)

  • 7k + 1 ....................(351)

  • 7k + 2 ....................(16, 9, 23, 303)

  • 7k + 3......................(10)

  • 7k + 4.......................(144, 333)

  • 7k + 5.......................(782, 999,

  • 7k + 6........................(237, 195, 174)


 

Príklad 2:

Slovne popíš množiny prirodzených čísel zapísaných výrazmi:


a) 4k; k ϵ N

b) 4k + 1; k ϵ N

c) 5k + 3; k ϵ N0

d) 5k – 2; k ϵ N0


Riešenie:

a) 4k; k ϵ N ⟹ množina všetkých prirodzených čísiel deliteľných siedmimi.

b) 4k + 1; k ϵ N ⟹ množina všetkých prirodzených čísel, ktorých pri delení štyrmi zostane zvyšok 1.

c) 5k + 3; k ϵ N0 ⟹ množina všetkých prirodzených čísel, ktoré keď delíme piatimi, ostane nám zvyšok 3.

d) 5k – 2; k ϵ N0 ⟹ od násobku piatimi odpočítame 2 a dostaneme číslo, ktoré keď vydelíme piatimi, ostane nám zvyšok 3. ⟹ množina všetkých prirodzených čísel, ktoré ak vydelím piatimi, ostane nám zvyšok 3.


 

Príklad 3:

Je súčin štyroch po sebe idúcich prirodzených čísel určite deliteľný číslami 3, 4 a 5?


Riešenie:

Štyri po sebe idúce čísla:

  • aspoň jedno je deliteľné troma, teda, súčin je deliteľný troma.

  • aspoň jedno číslo je deliteľné štyrmi, súčin teda bude deliteľný štyrmi

  • ani jedno číslo nemusí byť deliteľné piatimi – t.j. ani súčin nemusí byť deliteľné piatimi


 

Príklad 4:

Z daných čísel a) – h) urči, či sú deliteľné niektorým z čísel 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15 a 18.

a) 234 b) 4360 c) 7452 d) 70023

e) 3460 f) 278 g) 1011 h) 9200


Riešenie:

a) 234

Nie je deliteľné:

  • 4 – posledné dvojčíslie (34) nie je deliteľné 4,

  • 5 – na poslednom mieste nie je 0, ani 5,

  • 8 – posledné trojčíslie, teda 234 je deliteľné 8

  • 10 – na poslednom mieste nie je 0

  • 11 – je deliteľné 4 ale nie je súčasne deliteľné 3

  • 15 – nie je deliteľné ani 3, ani 5

 

Je deliteľné:

  • 3 - súčet všetkých číslic je deliteľný

  • 9 – súčet všetkých číslic je deliteľný 9

  • 18 – je deliteľné 2 a 9


b) 4360

Nie je deliteľné: 3, 9, 11, 15, 18

Je deliteľné: 4, 5, 8, 10


c) 7452

Nie je deliteľné: 5, 8, 10, 11, 15,

Je deliteľné:3, 4, 9, 18


d) 70023

Nie je deliteľné: 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15, 8

Je deliteľné: 3


e) 3460

Nie je deliteľné: 3, 8, 9, 11, 15, 18

Je deliteľné: 4, 5, 10


f) 278

Nie je deliteľné: 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15, 18

Je deliteľné: -


g) 1011

Nie je deliteľné: 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15, 18

Je deliteľné: 3


h) 9200

Nie je deliteľné: 3, 9, 11, 15, 18

Je deliteľné: 4, 5, 8, 10


 

Príklad 5:

Nájdi prvočíselný rozklad čísla 80.


Riešenie:

Existuje viac možností ako rozložiť číslo ⟶ všetky možnosti vedú k rovnakému výsledku:

  • 80 = 2*40 = 2*2*20 = 2*2*2*10 = 2*2*2*2*5 = 24 * 5

  • 80 = 4*20 = 2*2*2*10 = 2*2*2*2*5 = 24 * 5

  • 80 = 5*16 = 5*2*8 = 5*2*2*2*4 = 5*2*2*2*2 = 24 * 5

  • 80 = 8*10 = 2*4*2*5 = 2*2*2*2*5 = 24 * 5


 

Príklad 6:

Rozhodni, či je číslo prvočíslo:

a) 278

b) 323

c) 397


Riešenie:

a) 278

√278 = 16,67 < 17 ⟹ nemá zmysel skúšať prvočísla väčšie ako 13

číslo 278 nie je deliteľné 3, 5, 7, 11 ale je deliteľné 2 ⟹ nie je prvočíslo


b) 323

√323 = 17,97 < 18 ⟹ nemá zmysel skúšať prvočísla väčšie ako 17

323 nie je deliteľné: 2, 3, 5, 7, 11, 13

323 je deliteľné 17 ⟹ nie je prvočíslo


c) 397

√397 = 19,92 < 20 ⟹ nemá zmysel skúšať prvočísla väčšie ako 19

397 nie je deliteľné 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ⟹ je prvočíslo


 

Príklad 7:

Nájdi najväčšieho spoločného deliteľa čísel 440, 176 a 616.


Riešenie:

440 = 2*220 = 2*2*110 = 2*2*2*55 = 2*2*2*5*11

176 = 2*88 = 2*2*44 = 2*2*2*22 = 2*2*2*2*11

616 = 2*308 = 2*2*154 = 2*2*2*77 = 2*2*2*7*11


Teda: D(440, 176, 616) = 2*11 = 22


 

Príklad 8:

Nájdi spoločného menovateľa zlomkov:

martinkovicova

 

Riešenie:

Hľadáme najmenší spoločný násobok – číslo, ktoré je deliteľné všetkými menovateľmi:

14 = 2*7

35 = 5*7

20 = 2*2*5 = 22*5


n(14, 35, 20) = 2*2*5*7 = 140



Zopakujte si:
1. V úlohe 4 b) – h) zdôvodni deliteľnosť/nedeliteľnosť jednotlivými číslami.
2. Nájdi najväčšieho spoločného deliteľa čísel 33, 275, 333.
3. Nájdi najmenší spoločný násobok čísel 12, 42, 28.

Použitá literatúra:
vlastné stredoškolské poznámky
elektronické učebnice www.realisticky.cz