Vyjadrovanie v matematike musí byť presné a jednoznačné. Sú stanovené jasné pravidlá, ako formulovať a objavovať matematické princípy.


Definícia je vymedzenie pojmov pomocou základných pojmov, alebo pomocou pojmov skôr definovaných – v tomto prípade treba skôr definované pojmy ovládať, resp. chápať ich význam. Definícia nehovorí nič nového, len skráti vyjadrenie.

Napr.: Prvočíslo je číslo deliteľné jednotkou a samým sebou. Teda, v ďalšej komunikácii už nemusíme hovoriť „číslo deliteľné jednotkou a samým sebou“, stačí, ak povieme len „prvočíslo“.


Axióma je výrok, ktorý považujeme za pravdivý. Preto, že sme si tento výrok zvolili a skúmame, čo to spraví. Axiómy, i tie, ktoré môžu byť na prvý pohľad ťažko pochopiteľné, alebo zvláštne, môžu byť užitočné i v reálnom živote. Časť matematiky, ktorú dostaneme, závisí od súboru axióm a základných pojmov, ktoré si vyberieme. Nemožno však ako axióm vybrať všetko – súbor axióm by mal byť čo najmenší a axiómy sa nesmú navzájom odporovať.

Príklad axiómu: Priamky na seba rovnobežné sa nepretínajú.


Matematická veta je výrok, ktorý sme zostavili z pojmov a nepatrí medzi axiómy – musíme ho dokázať, t.j., musíme sa presvedčiť o jeho pravdivosti.

Tu máme hlavný rozdiel medzi matematikou a ostatnými prírodnými vedami. Vďaka dôkazom a výberom axióm v matematike vieme, čo je pravda, a čo nie. V ostatných prírodných vedách správne riešenie nepoznáme a nemusí ani existovať – všetko, čo v každom okamihu vieme, je len priblíženie. Vhodnosť takéhoto priblíženia nevieme dokázať, môžeme ho len podporiť alebo vyvrátiť.


Dôkaz – je úvaha, ktorá zdôvodňuje platnosť matematickej vety. Pre rôzne druhy výrokov (viet) existujú rôzne druhy dôkazov.


Na axiomatickom zavedení geometrie (Euklidovská geometria) si ukážeme, ako to celé „funguje“:


1. Najskôr sa definujú základné pojmy (spolu 23 definícii): (bod, čiara, hranice, úsečka, rovina, uhol – priamočiary, tupý, ostrý, útvar, kruh, priemer, polkruh ....)

 

 

2. Nasledujú axiómy, v tomto prípade 5 axióm:

  1. Ľubovoľné dva body môžeme spojiť úsečkou.

  2. Daná úsečka sa dá nekonečne predĺžiť.

  3. Ak je daná ľubovoľná úsečka, môžeme nakresliť kružnicu, ktorá bude mať túto úsečku ako polomer a jeden koniec bude jej stred.

  4. Všetky pravé uhly sú rovnaké

  5. Postulát o rovnobežnosti: Ak dve priamky pretínajú tretiu tak, že súčet vnútorných uhlov na niektorej strane je menší ako dva pravé uhly, tak tieto dve priamky sa musia nutne pretnúť práve na tejto strane.


 

3. Všeobecné zásady – zrejmé skutočnosti v ideálnom svete.

  1. Veličiny tomu istému rovné sú si rovné aj navzájom.

  2. Keď sa pridajú veličiny rovné k rovným, rovnajú sa aj celky.

  3. Ak sa odoberú od rovných rovné, zvyšné časti sú si rovné.

  4. Ak sa pridajú veličiny rovné k nerovným, nerovnajú sa ani celky.

  5. Dvojnásobky toho istého sa navzájom rovnajú.

  6. Polovice toho istého sa navzájom rovnajú.

  7. Čo sa navzájom prekrýva, to sa navzájom rovná.

  8. Celok je väčší ako časť.

  9. Dve samostatné úsečky žiadny útvar neohraničujú.

 

 

4. Formulácie a dôkazy jednotlivých viet.

Typy dôkazov

Metódy dokazovania úzko súvisia s vlastnosťami zložených výrokov:

I. Dôkazy matematických viet, ktoré majú tvar elementárneho výroku (t.j. jednoduché vety, bez spojok, napr. „√3 je iracionálne číslo“.

a) priamy dôkaz vety, ktorá má tvar elementárneho výroku (napr. výroku: „Súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov trojuholníka je 180°“.

b) dôkaz sporom vety, ktorá má tvar elementárneho výroku


II. Dôkazy matematických viet, majúcich tvar implikácie. „Ak...,tak...“, napr.: „Ak je n2 párne, potom je i n párne číslo.“


a) priamy dôkaz vety, ktorá ma tvar implikácie

Princíp tejto metódy: Máme výrok a ⟹ b, ale nie sme si istí pravdivosťou šípky. Dokazovanú implikáciu teda nahradíme reťazcom implikácii: a ⟹ b1 , b1 ⟹ b2, b2 ⟹ b3, b3 ⟹ b4,bn-1⟹ bn, bn⟹ b.


Postupujeme tak, že si vezmeme výrok a a z neho začneme postupne pravdivo pomocou axióm a už dokázaných viet vyvodzovať ďalšie výroky. Následne sa snažíme dokazovať výroky , z ktorých by bolo možné dokázať výrok b. Pokiaľ nájdeme výrok, z ktorého vyplýva už výrok b, podarilo sa implikáciu nahradiť reťazcom implikácii a tak vetu dokázať.


b) dôkaz sporom vety, ktorá má tvar implikácie – pri tomto type dôkazu je predpokladom úspechu správne znegovanie výroku, ktorý dokazujeme.

Princípom je, že negujeme zložený výrok a ⟹ b na a ^¬ b.

Postupujeme takto:

    • vytvoríme negáciu požadovaného výroku

    • z tohto výroku pravdivo dokazujeme až dôjdeme k nezmyselnému výroku c

    • výrok a ^ ¬ b je teda nepravdivý

    • výrok a ⟹ b je pravdivý


c) nepriamy dôkaz vety majúcej tvar implikácie – predpokladom úspechu tohto dôkazu je správne vytvoriť obmenenú implikáciu.

Princípom je, že implikácia a ⟹ b je ekvivalentný výrok s obmenenou implikáciou ¬b⟹¬a.

Ak sa dokáže platnosť implikácie ¬b ⟹ ¬a, potom musí platiť i a ⟹ b.


III. Dôkazy matematických viet majúcich tvar ekvivalencie. „....., práve vtedy, keď...“ Nedokazujeme platnosť samotných výrokov a alebo b ale pravdivosť ekvivalencie; dokazujeme zložený výrok a ⇔ b.



Zopakujte si:
1. Čo je to definícia a uveď príklad.
2. Čo je to axióm a uveď príklad.
3. V čom je principiálny rozdiel medzi matematikou a inými prírodnými vedami?
4. Definuj dôkaz.

Použitá literatúra:
http://sk.wikipedia.org/wiki/Euklidovsk%C3%A1_geometria
http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovsk%C3%A1_geometrie
http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%20Matematika%20S%C5%A0/01%20Z%C3%A1kladn%C3%AD%20poznatky/04%20Form%C3%A1ln%C3%AD%20logika%20(v%C3%BDroky)/11%20Logick%C3%A1%20stavba%20matematiky,%20d%C5%AFkazy.pdf