Daniel stojí pi pokladni a vykladá z košíka tovar:
-
5 rožkov po 0,12€
-
5 balíčkov vanilkového cukru – 0,19/balíček
-
2 litre mlieka – 0,59€/liter
-
chlieb – 99€
-
100g šunky – 1,25€
-
0,56 kg jabĺk (1 kg stojí 1,70€)
-
maslo – 1,45€
Rozmýšľa: koľko asi tak budem platiť? Bude mi stačiť 5€ čo mám v peňaženke, alebo budem musieť zaplatiť kartou?
Čo myslíte? Aký je váš odhad, bez počítania? Čím viac sa odhad blíži k reálnemu výsledku, tým máte lepší odhad.
Poďme si teraz vypočítať, koľko Danielov nákup naozaj stojí:
5x0,12€ + 5x0,19€ + 2x0,59€ + 0,99€ + 1,25€ + 0,56x1,70€ + 1,45€ = 7,372€
Daniel musí za nákup zaplatiť 7,37€, a keďže v hotovosti má len 5€, bude musieť zaplatiť kartou.
Ako urobíme čo najpresnejší odhad výsledku?
Príklad: Odhadni výsledok, potom vypočítaj a porovnaj s odhadom:
a) 82 345 789 + 123 548
b) 0,012345678 + 3,123456789
c) 82 345 789 – 12 543 548
d) 3245 x 1834
Riešenie:
a) menšie číslo je v státisícoch, odhad teda spravíme na státisíce. Obe čísla tak najskôr zaokrúhlime na státisíce a spočítame spamäti:
82 350 000 + 120 000 = 82 470 000
(zvýraznené číslo je číslo, ktoré si pri zaokrúhľovaní všímame. Podľa neho zaokrúhľujeme číslo na ľavo od neho – v tomto prípade zaokrúhľujeme číslo ktoré je na mieste státisícov)
82 350 000
+120 000
82 470 000
Teraz čísla spočítame (nie odhadom):
82 345 789
123 548
82 469 337
Odhad výsledku je 82 470 000 a presný výsledok je 82 469 337. Rozdiel medzi odhadom a presným súčtom je:
82 470 000
-82 469 337
663
b) Čísla zaokrúhlime na stotiny, pretože menšie číslo má prvé nenulové číslo na mieste stotín. Čísla zaokrúhlené na stotiny spočítame spamäti, čím dostaneme odhad výsledku:
Teraz presný súčet:
0,012345678
3,123456789
3,135802467
Odhad výsledku je 3,14, presný výsledok 3,135802467 rozdiel medzi presným výsledkom a odhadom je 0,004197533.
c)
odhad výsledku:
presný rozdiel:
82 345 789
– 12 543 548
69 802 241
Rozdiel medzi odhadom a presným výsledkom:
69 802 241
-69 000 000
802 241
d)
odhadom: zaokrúhlime na tisícky (obe čísla majú prvé číslo zľava na mieste tisíciek), z pamäti vynásobíme:
3245 x 1834 = 3000 x 2000 = 6 000 000
Presný súčin:
3245
.1834
12980
9735
25960
3245
5951330
Odhad výsledku je 6 000 000, presný súčin je 5 951 330. Rozdiel medzi presným výsledkom a odhadom je:
6 000 000 – 5 951 330 = 48 670
Kedy je vhodné, resp. stačí výpočet odhadom a kedy treba počítať presne? Približné veľké čísla sa často používajú napr. v astronómii. Vedci napríklad nevedia spočítať, presne koľko hviezd naša galaxia obsahuje, ale urobia len „odhad“. Uviedli, že naša galaxia obsahuje približne 300 000 000 000 000 000 000 000 hviezd, čiže 3 . 1023 hviezd.
Ale viete si predstaviť, že by vám predavačka pri pokladni povedala: máte zaplatiť približne 24,30€?
Kde všade sa používajú veľmi veľké čísla? Veľmi veľké a teda často len približné čísla sa používajú napríklad v štatistických údajoch, pri vyjadrovaní počtu obyvateľov, pri vyjadrovaní rozlohy štátu, mesta,...Prečo je uvádzaný počet obyvateľov v nejakom meste len približný? Vieme, že ľudia sa rodia aj zomierajú. Preto ak by sme napr. v Bratislave v jeden deň/hodinu zrátali počet obyvateľov a získali by sme presný počet – napr. 556 789, už na druhý deň nemôžeme povedať, že v Bratislave býva presne 556 789 obyvateľov – pretože od sčítania isto niekto zomrel alebo sa narodil. Preto uvedieme približný počet obyvateľov. Porozmýšľaj, ktorý údaj by bol najpresnejší?
a) v Bratislave žije viac ako pol milióna obyvateľov
b) v Bratislave žije približne 557 000 obyvateľov
c) v Bratislave žije približne 556 800 obyvateľov.
Teraz si prečítaj nasledujúci text, ako príklad, kde sa s veľmi veľkými číslami stretávame a ako ich môžeme vyjadriť (v tvare a.10n):
Prečítaj si nasledujúce fakty:
-
Slovensko má rozlohu 49,036 . 103 km2 a približne 5,5 . 106 obyvateľov.
-
Najväčšie mesto na svete, čo sa týka počtu obyvateľov, je Veľké Tokio, ktoré podľa odhadov obýva približne 32 510 000 (= 32,5 . 106) ľudí. Nachádza sa v Japonsku, ktoré má rozlohu 377 944 km2 (približne 3,78 . 105 km2).
-
Najľudnatejším štátom na svete je Čína, kde žije približne 1,3 miliardy obyvateľov n území veľkom 9 706 961 (približne 9,7 .106) km²
-
Najľudnatejším štátom v Európe je Rusko, kde žije približne 142 miliónov (142 . 106) ľudí. Jeho rozloha je približne 17 000 000 (17.106) kilometrov štvorcových.
-
Ak by sme sa vybrali na cestu okolo Zeme po rovníku, prešli by sme približne 40 030 (približne 4.105) km.
-
Ak by sme zemeguľu „rozrezali“ po rovníku, obsah kruhu, ktorý by sme tak získali, by bol približne 127 516 118 (1,27516118 . 108) km2.
-
Priemer planéty Zem je 12 742 (t.j. 1,2742 . 104) km.
-
Hmotnosť Zeme je približne 5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg. (5,97 . 1024)
-
Slnko je od našej planéty vzdialené 149 600 000 km. (čiže, približne 1,49.108 km)
Príklad:
V jednom roku bolo v krajine ku 31.12. 2 545 333 detí vo veku 0 – 18 rokov. Z toho chlapcov bolo 1 458 321 a dievčat bolo 1087012. V tvare zlomku vyjadri, akú časť z celkového počtu detí tvorili chlapci a akú dievčatá.
Riešenie:
chlapci:
Vysvetlenie: Zlomok sme potrebovali zjednodušiť (ak sa dá, upravujeme na základný tvar). Po vydelení vidíme, že prvé nenulové číslo zľava je na mieste desatín, preto sme zaokrúhlili na desatiny.
Rovnako postupujeme i pri vyjadrení počtu dievčat:
Zopakujte si:
1. Nájdi, koľko kilometrov majú hranice okolo Slovenska a údaje vyjadri v tvare a.10n.2. Vypočítaj odhadom a presným výpočtom, výsledky porovnaj:
a) 0,123459 + 0,00256
b) 0,123459 - 0,00256
c) 0,123459 x 0,00256
d) 0,123459 : 0,00256