Vennové diagramy sú množinové diagramy, ktoré sa používajú na grafické znázornenie vzťahov a operácií medzi množinami. Základnú množinu zobrazujeme ako obdĺžnik, podmnožiny ako oválne obrazce.
Do obrázkov zakresľujeme prvky – nech máme akýkoľvek prvok, vždy je na obrázku práve jedno pole, kde ho môžeme zakresliť.
Napríklad, majme dve množiny A a B, ktoré patria do univerzálnej množiny Z:
Množina Z je takto rozdelená na štyri polia:
-
pole a tvoria prvky, ktoré patria do množiny A, ale nie do množiny B
-
pole b tvoria prvky, ktoré patria do množiny A a patria aj do množiny B
-
pole c tvoria prvky, ktoré patria do množiny B ale nepatria do množiny A
-
pole d obsahuje prvky ktoré nepatria ani do množiny A ani do množiny B
Príklad:
-
Množina Z obsahuje všetky prirodzené čísla, ktoré sú menšie ako 11.
-
Množina A obsahuje všetky párne čísla patriace do množiny Z.
-
Množina B je množina všetkých čísel, ktoré sú násobkom čísla 5, patriacich do Z.
Všetky prvky množiny Z zapíš do zodpovedajúcich častí Vennových diagramov pre dve množiny.
Z = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {2,4,6,8,10}
B = {5,10}
Príklad:
Daná je základná množina:
Z = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,}
A jej podmnožiny:
A = {2,4,6,8}
B = {1,2,3,4,5}
C = {3,6,9}
Zakresli všetky prvky do Vennovho diagramu pre množiny A, B, C.
Riešenie:
Z
Prvky množiny A sú zaznačené v „červenej“ množine, prvky B množiny v zelenej, v modrej sú prvky C množiny. Spoločné prvky sú tam, kde sa množiny prekrývajú. Číslo 7 nepatrí ani do jednej z množín, ale musí byť v „obdĺžniku“, t.j. v množine Z.
Príklad:
Daná je základná množina U:
U = {1,2,3,4,5,6,7}
A jej podmnožiny:
A = {1,2,3,4} a B = {3,5,7}
Znázorni pomocou Vennových diagramov, a tiež urč a znázorni nasledovné množiny:
a) A U B
b) A ∩ B
c) A – B
d) B – A
e) A´U
Riešenie:
Prvky množiny A sú v červenej množine, prvky množiny B v zelenej množine. Spoločný prvok je v oblasti, kde sa obe množiny prekrývajú. Prvky základnej množiny U, ktoré nepatria ani do jednej z množín A, B sú mimo nich ale vnútri obdĺžnika, ktorý znázorňuje základnú množinu.
a) A U B = {1,2,3,4} U {3,5,7} = {1,2,3,4,5,7}
Zjednotenie množín: Všetky prvky, ktoré patria aspoň do jednej z množín, spájame do jednej množiny.
b) A ∩ B = {1,2,3,4} ∩ {3,5,7} = {3}
Prienik množín: V tomto prípade do prieniku množín A a B patrí len jeden prvok a to prvok „3“. Do prieniku množín patria všetky prvky, ktoré sa nachádzajú aj v jednej aj druhej množine, teda spoločné prvky. Ak by prienikom bola prázdna množina ⟹ t.j. množiny A, B by nemali žiadny spoločný prvok, potom by sme hovorili, že množiny sú disjunktné.
c) A – B = {1,2,3,4} – {3,5,7} = {1,2,4}
Rozdiel množín A-B: tie prvky, ktoré sú z A, ale nepatria do množiny B.
d) B – A = {3,5,7} – {1,2,3,4} = {5,7}
Rozdiel množín B-A: tie prvky, ktoré patria do B, ale nepatria do A.
Vidíme, že rozdiel množín A-B ≠ B-A ⟹záleží na poradí množín
e) A´U = U – A = {1,2,3,4,5,6,7} – {1,2,3,4} = {5,6,7}
Doplnková množina k A: je vlastne rozdiel množín U a A: množina všetkých prvkov, ktoré patria do množiny U, ale nepatria do A.
Zopakujte si:
1. Daná je základná množina U s prvkami 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Jej podmnožina A obsahuje všetky párne čísla a podmnožina B všetky násobky čísla 3. Urč nasledovné množiny a znázorni pomocov Vennovych diagramov:a)B´Z,
b)A∩B
c)AUB
2. Dané sú tri množiny A, B, C. Pomocou Vennovych diagramov znázorni (vyznač) množinu B´∩(AUC)
Použitá literatúra:
vlastné poznámkyhttp://www.bilgym.sk/data/2011-2012/Maths/Vennove_diagramy_-_rozsirena_verzia.pdf
http://www.realisticky.cz/hodina.php?id=608