Niekedy treba rozhodnúť, ktorá z dvoch veličín nadobúda väčšiu hodnotu – ak obe závisia od tej istej premennej, treba určiť, pre ktoré hodnoty tejto premennej je jedna z veličín väčšia ako druhá, čo zapisujeme nerovnicou:
Ľ(x), P(x) ⟹ výrazy s danou pemennou
˃; < ⟹ znaky ostrej nerovnosti
≤; ≥ ⟹ znaky neostrej nerovnosti
Dosadením konkrétneho čísla za premennú dostaneme pravdivú, alebo nepravdivú rovnosť. Riešením nerovnice sú potom všetky hodnoty premennej, pre ktoré existujúca nerovnosť platí.
Napr.:
2(x + 8) ˃ 45
ľavá strana nerovnice (Ľ(x)) ˃ prvá strana nerovnice (P(x))
Nerovnica môže mať:
-
jedno riešenie
-
žiadne riešenie
-
nekonečne veľa riešení
Dôležitá je množina, v ktorej určitú nerovnicu riešime.
Pri riešení nerovníc používame tieto ekvivalentné úpravy:
1. výmena pravej a ľavej strany nerovnice, pričom obrátime znak nerovnosti.
2. pripočítanie alebo odpočítanie toho istého čísla, príp. mnohočlena k obom stranám/od obidvoch strán nerovnice
3. vydelenie alebo vynásobenie obidvoch strán nerovnice rovnakým kladným číslom
4. vydelenie alebo vynásobenie obidvoch strán nerovnice rovnakým záporným číslom, pričom znak nerovnosti sa obracia (t.j. ak pôvodne bol ˃, mení sa na <)
Intervaly reálnych čísel:
a) x < a:
Pozn.: obidve zátvorky sú „oblé“ ⟹ interval je otvorený
graficky znázorníme:
zľava otvorený, sprava uzavretý ⟹ polouzavretý interval
graficky:
zľava uzavretý, sprava otvorený ⟹ polouzavretý interval
graficky:
⟹ otvorený interval
⟹ uzavretý interval
⟹ polouzavretý interval – zľava otvorený, sprava uzavretý
⟹ polouzavretý interval – zľava uzavretý, sprava otvorený
⟹ otvorený interval
Riešenie nerovníc pre jednotlivé znaky, v závislosti od znamienka koeficienta a: a)ax < b
-
ak a > 0, riešenie je z intervalu (-∞, b/a)
-
ak a < 0 (b/a, ∞)
b)ax ≤ b
-
ak a > 0, (-∞, b/a]
-
ak a < 0 [b/a, ∞)
c) ax > b
-
ak a > 0, (b/a, ∞)
-
ak a < 0, (-∞, b/a)
d)ax ≥ b
-
ak a > 0, [b/a, ∞)
-
ak a < 0, (-∞, b/a]
Ak a = 0 nerovnica v závislosti od hodnoty b buď nemá riešenie, alebo riešením sú všetky čísla. Napr. pre ax > b nerovnica nemá riešenie, ak b > 0 alebo riešením sú všetky čísla, ak b < 0.
Príklad:
Nasledujúce nerovnice rieš v R, riešenie zapíš pomocou intervalu a znázorni graficky.
Riešenie:
Grafické zobrazenie riešenia:
4(12 – x) ≥ 3(12 – x)
48 – 4x ≥ 36 – 3x
x ≤ 12
Riešenie znázorníme aj graficky:
Zopakujte si:
1. Aký je rozdiel medzi uzavretým, polouzavretým a otvoreným intevalom?2. Aké ekvivalentné úpravy používame pri riešení nerovníc?
Použitá literatúra:
vlastné poznámkyKoreňová, L.: Zvládni prijímacie skúšky na stredné školy ľahšie a úspešnejšie, Aktuell, Bratislava, 2007
Kupka, P.: Prehľad matematiky pre ZŠ, Kupka, Praha, 2011
http://www.goblmat.eu