Spojitosť a limita funkcie I.

Spojitosť funkcie si môžeme veľmi zjednodušene predstaviť na príklade čiary kreslenej jedným ťahom a prerušovane a na grafe.

Na grafe v pravo čiara grafu funkcie nie je nikde prerušená ⟹ funkcia je spojitá v každom bode definičného oboru. Na grafe v ľavo čiara grafu funkcie je prerušená ⟹ funkcia nie je spojitá.

Okolie bodu

Bod a voláme hromadný bod množiny M ⊂ R, ak pre každé δ > 0 interval (a – δ, a + δ) obsahuje nekonečne veľa prvkov množiny M.

Okolím bodu a,resp. δ –okolím bodu a voláme otvorený interval (a – δ, a + δ), kde δ je ľubovoľné kladné reálne číslo. Číslo a sa volá stred okolia, číslo δ sa volá polomer okolia. Okolie bodu a označujeme O_δ(a) (v niektorých zdrojoch sa označuje U_δ(a)).

Príklad: Na číselnej osi nakresli a zapíš intervalom O₂(1).

Riešenie:

O₂(1) = okolie bodu 1 s polomerom 2.

O₂(1) = (1 - 2; 1 + 2) = (-1; 3)

Ľavým okolím bodu a, resp. ľavým δ-okolím bodu a voláme polouzavretý interval

δ ⟹ ľubovoľné reálne kladné číslo

Pravým okolím bodu a, resp. pravým δ- okolím bodu a voláme polouzavretý interval

δ ⟹ ľubovoľné reálne kladné číslo

Pravé δ – okoie bodu a označujeme .

Poznm. Označovanie nie je vo všetkých učebniciach rovnaké, niekde sa označuje napr. písmenom U.

Na hodnote v bode a pri určovaní limit nezáleží. Redukované okolie bodu a, resp. redukované δ-okolie bodu a je množina

δ ⟹ polomer okolia

⟹ ľubovoľné kladné reálne číslo

a ⟹ stred okolia

Označujeme R_δ(a).

Pravé redukované okolie bodu a, resp. pravé redukované δ – okolie bodu a - otvorený interval (a; a + δ); δ ⟹ ľubovoľné reálne kladné číslo.

 

Ľavé redukované okolie bodu a– resp. ľavé redukované δ-okolie bodu a - otvorený interval (a – δ; a); δ – ľubovolné kladné reálne číslo.

 

Teda, čísla, ktoré obklopujú nejaké číslo, zapisujeme pomocou okolia – otvorených alebo polouzavretých intervalov.

 

Limita funkcie v bode a

 

Nech a je bod (hromadný) definičného oboru D(f) funkcie f. Funkcia f má teda v bode a limitu L (L ϵ R), ak ku každému okoliu O(L) existuje také okolie bodu a O(a), že pre každé 

Zapisujeme:

Ak okolie bodu zapíšeme ako intervaly, O(a) = (a – δ, a + δ) a ak O(L) = (L – ε, L + ε), potom môžeme definíciu limity zapísať takto:

pretože

 

Funkcia môže mať limitu aj v bode, v ktorom nie je definovaná, nakoľko hromadný bod množiny nemusí byť prvkom tejto množiny.

 

Zopakujte si:

1. Aký je rozdiel medzi nespojitou a spojitou funkciou?
2. Definuj okolie bodu a.

Použitá literatúra:

Kolektív autorov: Chystáte sa na maturitu?, Engima, Bratislava, 1999
http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%20Matematika%20S%C5%A0/10%20Diferenci%C3%A1ln%C3%AD%20a%20integr%C3%A1ln%C3%AD%20po%C4%8Det/01%20Spojitost,%20limita/05%20Okol%C3%AD%20bodu.pdf