Vety o limitách:


I. V danom bode má funkcia f najviac jednu limitu.


II. Pokiaľ pre funkcie f(x), g(x) platí pre všetky x ≠ a konkrétneho okolia bodu a  f(x) = g(x), a pokiaľ má funkcia g(x) v bode a limitu L, tak má v tom istom bode limitu L aj funkcia f(x).


III. Pokiaľ pre každé a, a ≠ x určitého okolia bodu a platí f(x) < g(x) < h(x) a pokiaľ existujú limity

 

 

VI. Funkcia f má v bode +oo (-oo) vlastnú limitu rovnajúcu sa číslu L vtedy, ak ku každému číslu ε > 0 existuje také číslo K, že pre všetky x > K (x < K) platí |f(x) - L| < ε.


 

Podľa tejto vety počítame limity spojitých funkcií jednoducho dosadením čísla a za x.


Pokiaľ a ∉D(f) , ale existuje

potom voláme bod a odstrániteľným bodom nespojitosti funkcie f. Funkcia f sa stáva v bode a spojitou dodefinovaním funkčnej hodnoty f(a) = b.

 

Teda, ak v bode a funkcia nemá limitu, potom v bode a nie je ani spojitá.


Veta 2: Funkcia je na množine M ⊂ D(f) spojitá vtedy, ak je spojitá v každom bode množiny M.

Spojitosť funkcie je možná iba v bodoch jej definičného oboru.


Veta 3: Ľubovoľná racionálna funkcia je v každom bode svojho definičného oboru spojitá.


L´Hospitalovo pravidlo:


Ak funkcie f(x), g(x) majú na okolí bodu a derivácie f´(x), g´(x) a ak platí


 



Zopakujte si:
1. Koľko limít má v danom bode funkcia f?
2. Ktorá veta nás oprávňuje počítať limity spojitých funkcií jednoduchým dosadením čísla a za x?


Použitá literatúra:
vlastné poznámky
Kolektív autorov: Chystáte sa na maturitu?, Engima, Bratislava, 1999
http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%20Matematika%20S%C5%A0/10%20Diferenci%C3%A1ln%C3%AD%20a%20integr%C3%A1ln%C3%AD%20po%C4%8Det/01%20Spojitost,%20limita/05%20Okol%C3%AD%20bodu.pdf
Čermák, P. – Červinková, P.: Zmaturuj! z matematiky, Didaktis, Bratislava, 2004