Vypracovala: Mária Martinkovičová
Výrok – je každý výraz, ktorý popisuje stav vecí, pričom vieme vždy jednoznačne určiť, či je stav vecí taký ako tvrdí, alebo nie. Výrok môže byť:
-
pravdivý (platí) – taký výrok, ktorý vyjadruje skutočný stav vecí
-
nepravdivý(neplatí)
Pravdivostné hodnoty = pojmy pravda a nepravda.Každý z výrokov nadobúda práve jednu z týchto dvoch hodnôt – pravdivostnú hodnotu „pravda“ označujeme číslom „1“, pravdivostnú hodnotu „nepravda“ označujeme číslom „2“.
Axióma (postulát) = matematický výrok, ktorý pokladáme za pravdivý a nedokazujeme ho. Pomocou axióm zavádzame jednotlivé matematické pojmy. Sústava axióm musí byť nezávislá (pomocou jednej axiómy nemožno odvodiť inú axiómu),bezosporná(z axiómy nie je možné odvodiť výrok a súčasne aj jeho negáciu) a úplná – zo sústavy axióm sa dá odvodiť pravdivosť alebo nepravdivosť akéhokoľvek matematického výroku.
Definícia - pomáha zavádzať nové matematické pojmy, pričom určí názov pojmu a jeho charakteristické vlastnosti. Pritom využíva už skôr zavedené pojmy.
Hypotéza = výrok, o ktorom v čase jeho formulovania, nevieme rozhodnúť či je alebo nie je pravdivý.
Logická spojka = každý operátor, ktorý spája spojky do zložených výrokov.Taký výrok, ktorý neobsahuje logické spojky, voláme jednoduchý výrok.
Negácia výroku A je zmena jeho pravdivostnej hodnoty – tvrdí presný opak toho, čo pôvodný výrok. Na negáciu výroku využívame negátor– operátor ¬. T.j. negáciu výroku A zaznačíme „¬A“.
Konjunkciavýrokov, napr. A a B je výrok, ktorý vznikol ich spojením. Je pravdivý, ak oba výroky (A aj B) sú pravdivé, inak je nepravdiví. Na označenie konjunkcie používame operátor konjuktor – „ᴧ“.(A ᴧ B – výrok A a súčasne výrok B)
Disjunkciavýrokov A a B – (A v B – výrok A alebo výrok B) je výrok, ktorý vznikol ich spojením. Je pravdivý ak aspoň jeden s výrokov je pravdivý. Operátor „v“ voláme disjunktor.
Implikácia výrokov A a Bje výrok, ktorý vznikol ich spojením. Je nepravdivý, ak je výrok A pravdivý a výrok B nepravdivý. Inak je implikácia pravdivá. (A ⟹ B – ak výrok A, potom výrok B; operátor „⟹“ voláme implikátor.
Obrátená implikácia k A ⟹ B: výmena členov implikácia (B ⟹ A);
Obmenená implikácia k A ⟹ B: výmena členov a ich negovanie(¬B ⟹ A¬)
Ekvivalencia výrokov A a B je výrok, ktorý vznikne ich spojením. Je pravdivý len vtedy, ak výroky majú rovnakú pravdivostnú hodnotu. Na označenie ekvivalencie používame operátor „⟺“. (A ⟺ B – výrok A práve vtedy, keď výrok B)
Vyplýva – ak z výroku A vyplýva výrok B, tak ide o implikáciu: A ⟹ B
Je ekvivalentné – dva výroky A, B sú ekvivalentné vtedy, ak sa rovnajú ich pravdivostné hodnoty - A ⟹ B je ekvivalentné s B´ ⟹ A´
Kvantifikovaný výrok = oznamovacia veta udávajúca určitý počet, alebo odhad počtu objektov - predmetov, osôb, ...s rovnakou vlastnosťou. V kvantifikovanom výroku sa vyskytujú slová ako práve, najviac, každý, všetci, niektorí, aspoň, žiadny ..., ktoré sa voláme kvantifikátory a číslovky.
Pre symbolické zápisy kvantifikovaných výrokov používame kvantifikátor
-
všeobecný - ∀ - „pre každé (všetky) platí.....“
-
existenčný - ∃ - „existuje aspoň jedno..., pre ktoré platí ....“
Priamy dôkaz = konečná postupnosť správnych krokov, z ktorých každý vyplýva z predchádzajúcich, pričom prvý krok dôkazu je overenie platnosti predpokladu a výsledkom posledného kroku je záver dokazovaného tvrdenia. Teda, ak platí A ≥ B, tak platí B.
Nepriamy dôkaz = dôkaz podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B" a súčasne vieme, že platí opak B, tak platí opak A. Teda, je to konečná postupnosť správnych krokov, z ktorých každý vyplýva z predchádzajúcich. Pritom prvým krokom je negácia záveru tvrdenia a výsledkom posledného kroku je negácia predpokladu, prípadne iného platného tvrdenia. Na dôkaz, že platí A ≥ B, tak stačí dokázať, že platí B´ ≥ A´
Dôkaz sporom - podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B", potom ak vieme, že "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. Teda: ak "z A vyplýva B" a zároveň "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. (slovne: Ak z predpokladu A vyplýva výrok B a súčasne jeho negácia, potom musí platiť negácia A).
Použitá literatúra:
http://www.statpedu.sk/files/documents/cp-2013-2014/cp_matematika_2013_2014.pdf
https://sk.wikipedia.org/wiki/Priamy_d%C3%B4kaz
https://sk.wikipedia.org/wiki/Nepriamy_d%C3%B4kaz_(logika)
https://sk.wikipedia.org/wiki/D%C3%B4kaz_sporom
vlastné poznámky