Absolútna hodnota reálneho čísla - Úlohy

-Red-

Príklad 1

Upravte výraz A(x) = |1 - x| + x tak, aby neobsahoval absolútnu hodnotu.

Riešenie:

Absolútnu hodnotu vieme odstrániť, ak poznáme znamienko výrazu 1 - x.

Príklad 2

Riešte nerovnice v R: a) |x - 4| ≤ 3, b) |x + 2| ˃ 5

a) Z geometrického hľadiska hľadáme také čísla x, ktorých vzdialenosť od obrazu čísla 4 je menšia alebo rovná 3.

Z obrázka vidíme, že sú to čísla od 1 po 7 vrátane. P = ˂ 1, 7 ˃

b) Ukážeme druhý spôsob:

1. x + 2 ≥ 0, x ≥ -2, |x + 2| = x + 2, x + 2 ˃ 5, x ˃ 3, P₁ = (3, ∞)

2. x + 2 ˂ 0, x ˂ -2, |x + 2| = -x - 2, -x - 2 ˃ 5, -x ˃ 7, x ˂ -7, P₂ = (-∞, -7)

P = P₁U P₂ → P = (-∞, -7) U (3, ∞)

Príklad 3

Riešme v R nerovnicu : |x| + |2 - x| ˂ 2

Riešenie:

Použijeme metódu nulových bodov. Najskôr určíme množinu x , pre ktoré je niektorý výraz x, 2 - x rovný nule. Body x = 0, x = 2 nazývame nulové body. Tieto rozdelia množinu R na intervaly: I₁= (-∞, 0), I₂ = ˂ 0, 2 ˃, I₃ = ˂ 2, ∞). V každom tomto intervale zistíme znamienko výrazov x, 2 - x a vyjadríme ich absolútne hodnoty. Úlohu riešime na každom intervale, dostaneme tri obory pravdivosti.

Uvedený postup zostavíme do tabuľky:

Príklad 4

b) graficky:

Grafom funkcie y = |x - 2| je lomená čiara, ktorá sa skladá z dvoch polpriamok

so začiatkom v bode [2,0] a sú určené napr. bodmi A[3,1] a B[0,2].

Grafom funkcie  je priamka, ktorá je určená napríklad bodmi [0,0] a [2,1].

Grafy obidvoch funkcií sa pretnú v bodoch P a Q, ktorých súradnica x je riešením úlohy,

viď. obrázok.

Príklad 5

P = P₁ P₂ P₃                 Z podmienok platí x ≠ 4, preto P = {56/9}

Použitá literatúra:

Matematika + ukážkové testy, Soňa Richtáriková - Darina Kyselová