Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi (riešenie pomocou porovnávacej metódy)

Naučili ste sa riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi dosadzovacou aj sčítacou metódou.

Teraz si ukážeme, čo je princípom poslednej – porovnávacej metódy a vyriešime si ňou určitú sústavu rovníc.

Princípom porovnávacej metódy je z obidvoch rovníc v sústave si vyjadriť tú istú neznámu a potom dať tieto výrazy do rovnosti. Dostaneme tak jednu lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime známymi ekvivalentnými úpravami. Druhú neznámu vypočítame dosadením do niektorej s pôvodných rovníc.

Príklad:

Riešte sústavu porovnávacou metódou a vykonajte skúšku správnosti

$4left(frac{y}{5}+x right)-frac{2x+y}{2}=6$

3x + y + 1 = 0

1. odstránime v prvej rovnici zátvorku a nasledovne zlomok – vynásobíme rovnicu spoločným menovateľom, druhú rovnicu odpíšeme

$frac{4y}{5}+4x-frac{2x+y}{2}=6/ . 10$

2 . 4y + 10 . 4x – 5 . (2x + y) = 60

3x + y + 1 = 0

2. prvú rovnicu upravíme, druhú opäť odpíšeme

8y + 40x – 10x – 5y = 60

3y + 30x = 60

3x + y + 1 = 0

3. z obidvoch rovníc si vyjadríme neznámu

$3x+y+1=0Rightarrow y=-3x-1$

$3y+30x=60 Rightarrow 3y=60-30xRightarrow y=frac{60-30x}{3}$

4. obidva výrazy dáme do rovnosti

$frac{60-30x}{3}=-3x-1$

5. dostali sme jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú riešime známymi ekvivalentnými úpravami

$frac{60-30x}{3}=-3x-1/.3$

60 – 30x = - 9x – 3/ + 30x; +3

60 + 3 = - 9x + 30x

63 = 21x/ : 21

3 = x

6. do pôvodnej prvej alebo druhej rovnice dosadíme za neznámu x číslo, ktoré sme vypočítali a vypočítame druhú neznámu ( my dosadíme do druhej rovnice, lebo tá je jednoduchšia)

3 . 3 + y + 1 = 0

9 + y + 1 = 0

10 + y = 0/ - 10

y = - 10

Riešenie sústavy zapíšeme ako usporiadanú dvojicu (poradie koreňov je podľa abecedy): K [ 3; - 10]

Skúšku správnosti urobíme pre každú rovnicu zvlášť:

Ľ1: $4left(frac{-10}{5} +3right)-frac{2.3+left(-10 right)}{2}$ $=4left(frac{-10+15}{5} right)-frac{6-10}{2}$ $=4.frac{5}{5}-frac{-4}{2}=4.1+2=6$

P1: 6

Ľ1 = P1

Ľ2: 3 . 3 + (-10) + 1 = 9 – 10 + 1 =0

P2: 0

Ľ2 = P2, riešili sme správne

Pri riešení sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi môže rovnako ako pri riešení jednej lineárnej rovnice nastať jeden z týchto prípadov:

1. Sústava má práve jedno riešenie (náš príklad)

2. Sústava má nekonečne veľa riešení

3. Sústava nemá riešenie

Príklad:

Riešte sústavu rovníc porovnávacou metódou

$frac{x-y}{2}=2y+3$