Absolútna hodnota reálneho čísla

Z algebrického významu je absolútna hodnota reálneho čísla nezáporné reálne číslo |a|, pre ktoré platí:

ak a ≥ 0 ⇒ ‌ | a |‌ = a; ak a < 0 ⇒ | a |‌ = - a

:

Geometrický význam absolútnej hodnoty:

Číslo |‌‌‌ a |‌‌‌ je vzdialenosť obrazu čísla a od obrazu čísla 0 na číselnej osi.

Číslo ‌ |‌‌ a - b |‌‌ ‌ je vzdialenosť obrazu čísla a od obrazu čísla b na číselnej osi pri danej jednotke.

Definíciu a vlastnosti absolútnej hodnoty využívame pri riešení úloh ako zjednodušiť výraz obsahujúci absolútnu hodnotu, riešiť rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou, funkcie s absolútnou hodnotou.

Pri rovniciach a nerovniciach typu ‌ x ‌ = r, ‌ x ‌ < r, ‌ x ‌ > r, ‌ x - a ‌ < r, ‌ x - a ‌ >r a podobne, je vhodné využiť geometrický význam absolútnej hodnoty. Pri rovniciach a nerovniciach s viacerými absolútnymi hodnotami sa používa metóda nulových bodov.

Príklady:

1. Upravte výraz A (x) = ‌ 1 - x ‌ + x tak, aby neobsahoval absolútnu hodnotu!

Riešenie:

Absolútnu hodnotu vieme odstrániť, ak poznáme znamienko výrazu 1-x.

1.  

    

   1 – x ≥ 0, x ≤ 1, ‌ |‌‌1 - x |‌‌‌ = 1 – x, A(x) = 1 – x + x = 1 alebo

2. 1 – x < 0, x > 1, ‌|‌‌ 1 - x |‌‌‌ = x – 1, A(x) = x – 1 + x = 2x – 1

Zapíšeme:

A(x) = 1 pre x ]- ∞, 1]

A(x) = 2x – 1 pre x ]1, ∞[

2. Riešme v R nerovnicu: ‌|‌‌ x |‌‌‌ + |‌‌‌ 2 – x |‌‌‌ < 2 !

Riešenie:

Použijeme metódu nulových bodov. Najskôr určíme množinu , pre ktoré je niektorý výraz x, 2 – x rovný nule. Body x = 0, x = 2 nazývame nulové body. Tieto rozdelia množinu R na intervaly: I₁ = ]-∞, 0]; I₂ = [0, 2]; I₃ = [2, ∞[.

V každom tomto intervale zistíme znamienko výrazov x, 2 – x a vyjadríme ich absolútne hodnoty. Úlohu riešime na každom intervale, dostaneme tri obory pravdivosti.

Uvedený postup zostavíme do tabuľky:

P₁ = ] - ∞, 0] ∩ ]0, ∞[ = Ø

P₂ = Ø

P₃ = ]- ∞, 2[ ∩ [2, ∞[ = Ø

P = P₁ U P₂ U P₃ = Ø