Vypracovala: Petra Podmanická


 
Zadanie:

  1. Definujte: okolie a rýdze okolie bodu, limita a derivácia funkcie. Napíšte, čo platí pre deriváciu inverznej funkcie a rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie. Vlastná a nevlastná limita, limita vo vlastnom a nevlastnom bode. Ako spolu súvisia limita a spojitosť funkcie? Napíšte pravidlá, ktoré platia pre výpočet limít a derivácií.
  2. Vypočítajte nasledovné limity


  1. Máme funkciu   f: y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2x + 1

Určte jej vlastnosti – monotónnosť, spojitosť, extrémy, konvexnosť – konkávnosť, inflexný bod. Nakreslite graf.

 
 

Riešenie:

  1. Definície
(A)   δ okolie bodu a – je interval (a – δ; a + δ), kde δ je kladné reálne číslo

(B)   rýdze δ okolie bodu a – je zjednotenie intervalov (a – δ; a)\cup(a; a + δ)

(C)   limita funkcie – Ak je funkcia f definovaná na nejakom δ rýdzom okolí bodu a, tak potom limita funkcie f v bode a sa rovná číslu c, ak ku ľubovoľne malému ε > 0; existuje δ > 0, také že pre všetky x z rýdzeho δ okolia bodu a je f(x) z ε okolia bodu c


 
(D) derivácia funkcie f v bode a \in D(f) je nejaké číslo
 




v prípade, že táto limita existuje.
 
(E)   vlastnú limitu má funkcia, ak hodnota jej limity je reálne číslo. Ak má funkcia f v bode a vlastnú limitu je konvergentná v bode p. (V opačnom prípade je divergentná)

(F)   nevlastnú limitu má funkcia, ak hodnota jej limity nie je reálne číslo

(G)  funkcia má limitu vo vlastnom bode ak v zápise  je a reálne číslo

(H)  vlastnú limita c má funkcia f v nevlastnom bode \pm\infty, ak ku každému
ε > 0 existuje K \in R také, že pre všetky x > K, resp. x < K platí, že
|f(x) – c| < ε.

(I)   dotyčnica ku grafu funkcie – derivácia funkcie f v čísle x0 udáva smernicu dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x) v bode T[x0; y0]. Rovnica dotyčnice je : 
y – y0 = f’(x0)(x – x0)

(J)   veta o derivácií inverznej funkcie – nech f je rýdzomonotónna funkcia spojitá na intervale (a, b) a nech má v každom čísle y \in (a, b) deriváciu f’(y) ≠ 0. Potom k nej inverzná funkcia f-1 má deriváciu v čísle x = f(y) a platí
, kde y = f-1(x).

(K)  súvis limity a spojitosti funkcie – funkcia je spojitá v bode a ak je v bode a definovaná a ak sa jej limita v tomto bode rovná hodnote v bode a

\lim_{x\rightarrow a} f(x)= f(a)

(L)   pravidlá výpočtu limít:




(M)  pravidlá výpočtu derivácií:


 

 
  1. Príklady

 
 
  1. Spravíme si prvú, druhú a tretiu deriváciu funkcie f :

 

(A) Spojitosť a monotónnosť:
Funkcia je spojitá v každom bode
Rastie, ak f’(x) > 0
Klesá, ak f’(x) < 0
Korene rovnice f’(x) = 0 sú čísla 2; -1
Rastie : (-∞; -1) \cup (2; ∞)
Klesá: (-1; 2)
 

(B)   Extrémy
Z rovnice prvej derivácie funkcie f sme dostali hodnoty 2; -1. Teraz preskúmame, ktoré je maximum a ktoré minimum:
f’’(x) <> 0
f’’(2) = 2*2 – 1 = 3 > 0  \Rightarrow  v bode 2 má funkcia minimum
f’’(-1) = 2*(-1) – 1 = -3 < 0  \Rightarrow v bode -1 má funkcia maximum
 

(C) Konvexnosť, konkávnosť a inflexné body
Konvexná: f’’(x) > 0
2x – 1 > 0
x > 0,5
funkcia je konvexná na intervale: (0.5; ∞)
Konkávna : f’’(x) < 0
2x – 1 < 0
x < 0.5
funkcia je konkávna na intervale: (-∞; 0.5)

 
Inflexný bod má funkcia ak f’’’(x) ≠ 0; a zistíme ho tak, že si druhú deriváciu prirovnáme k nule. Nakoľko:
f’’’(x) je skutočne rôzne od nuly a
f’’(x) = 0
2x – 1 = 0
x = 0.5
Funkcia má inflexný bod v bode x = 0.5
 
 
(D) Graf
 
 
 

Použitá literatúra:

Prehľad matematiky,

Zbierka vzorcov z matematiky,

Maturitné príklady z matematiky,

vlastné poznámky