Vypracovala: Petra Podmanická
 
 
Zadanie:
  1. Máme dve komplexné čísla: u = 1 + i; v = 6 – 6i
Sčítajte, odčítajte, vynásobte, vydeľte, umocnite ich medzi sebou. Urobte absolútnu hodnotu týchto čísiel a nájdite ku nim komplexne združené číslo, napíšte v goniometrickom tvare, vynásobte medzi sebou. Uveďte teóriu zápisu komplexného čísla v goniometrickom tvare.
  1. Riešte rovnicu: x3 – 2x2 + x – 2 = 0
  2. Zostavte kvadratickú rovnicu, ktorá má korene: 2 – 3i, 1 + i
  3. Definujte: komplexné číslo a jeho zložky, kedy sa komplexné čísla rovnajú, vzťah platiaci pri umocňovaní imaginárnej jednotky, čo platí pre komplexne združené čísla, Moivrovu vetu, odmocninu komplexného čísla, binomickú rovnicu. Napíšte spôsob, akým sa kvadratické trojčleny rozkladajú na súčin a čo platí pre jednotlivé členy.
 
 
Riešenie :
  1.  
(u + v) = (1 + i) + (6 – 6i) = (1 + 6) + i(1 – 6) = 7 – 5i
(u – v) = (1 + i) – (6 – 6i) = (1 – 6) + i(1 + 6) = -5 + 7i
u*v = (1 + i)(6 – 6i) = 6 – 6i + 6i -6*(i*i) = 6 – 6(-1) = 12


 

 

 
Pre komplexné číslo z = a + bi, ktoré chceme zapísať v goniometrickom tvare, platí:
z = |z|(cos x + i*sin x), kde



Rovnicu z = a + bi, si prepíšeme do tvaru z = x + yi. Na základe hodnôt x, y si určíme, v ktorom kvadrante sa nachádzame a podľa toho určíme uhol x. Platí:
I. kvadrant: x → x aj y sú kladné
II. kvadrant: π – x → x je záporné, y kladné
III. kvadrant: π + x → x aj y sú záporné
IV. kvadrante: 2π – x → x je kladné, y je záporné
 

 

 

 
 
 
  1. Číslo 1 má dva delitele, a to ± 1 a ± 2. Začneme tým, že celú rovnicu vydelíme členom (x – 2). Dostávame:



Nakoľko sme nedostali žiaden zvyšok, môžeme povedať, že číslo 2 je jedným z troch koreňov kubickej rovnice. Ostatné dva korene, dostaneme riešením kvadratickej rovnice: x2 + 1 = 0



Kubická rovnica s daným predpisom má korene 2, i, -i. Dá sa tiež napísať v tvare:
(x – 2)(x + i)(x – i) = 0
 
  1. Budeme vytvárať kvadratickú rovnicu v tvare x2 + px + q = 0



A teda výsledkom je kvadratická rovnica v tvare:



 
  1. komplexné číslo –  (z) je usporiadaná dvojica reálnych čísel. Množinu komplexných čísiel (C) dostaneme z množiny reálnych čísel (R) tak, že ku R pridáme imaginárnu jednotku i, pre ktorú platí i2 = -1. Ak si komplexné číslo napíšeme v tvare z = a + bi, tak a je tzv. reálna časť, b je imaginárna časť a člen bi je tzv. rýdzo imaginárny.

rovnosť komplexných čísiel s predpisom a + bi; c + di nastáva vtedy keď sa rovnajú ich reálne a imaginárne časti, čiže a = c; b = d

umocňovanie imaginárnej jednotky:

 
 
pravidlá pre komplexne združené čísla:



Moivrova veta: (cos x + i*sin x) = cos (nx) + i*sin (nx)

komplexnou n-tou odmocninou komplexného čísla a sa nazývajú všetky čísla z, pre ktoré platí vzťah: zn = a

binomická rovnica: je rovnica v tvare : pxn + q = 0, kde p a q sú komplexné čísla, n je prirodzené číslo a p≠ 0

rozklad na súčin: K ľubovoľnému kvadratickému trojčlenu ax2 + bx + c, existujú komplexné čísla x1, x2 také, že platí :
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

platí pri tom, že:


pre trojčlen x2 + px + q platí, že:
x1 + x2 = - p
x1*x2 = q
 

 

 

Použitá literatúra:

Prehľad matematiky,

Zbierka vzorcov z matematiky,

Maturitné príklady z matematiky,

vlastné poznámky