1.1 Základné pojmy

 

 

Polynomická funkcia je funkcia s predpisom

 

, kde

 

 

 

Typy polynomickej funkcie

 

1) Konštantná funkcia s nulovým stupňom → n = 0; y = a0; a0 ≠ 0

2) Konštantná funkcia, ktorej stupeň nedefinujeme → y = 0

3) Lineárna funkcia (PF 1.stupňa) → n = 1; y = a1x + a0; a1 ≠ 0

4) Kvadratická funkcia (PF 2.stupňa) → n = 2; y = a2x2 + a1x + a0; a2 ≠ 0

5) Kubická funkcia (PF 3.stupňa) → n = 3; y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0; a3≠0

6) Bikvadratická funkcia (PF 4.stupňa) → n = 4; y = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0; a4 ≠ 0

 

 

1.2 Vlastnosti polynomickej funkcie

 

1) definovaná a spojitá na R

 

 

2) n je párne:

 

an > 0 → PF je ohraničená iba zdola a má globálne minimum

an < 0 → PF je ohraničená iba zhora a má globálne maximum

 

 

3) n je nepárne: funkcia nie je ohraničená ani zhora, ani zdola

 

an > 0: x rightarrow infty Rightarrow f(x) rightarrow infty ... x rightarrow -infty Rightarrow f(x) rightarrow -infty

an < 0: x rightarrow -infty Rightarrow f(x) rightarrow infty ... x rightarrow infty Rightarrow f(x) rightarrow -infty

 

 

4) Nech sú funkcie f a h najviac n-tého stupňa a platí, že f(x) = h(x) minimálne pre n+1 rôznych hodnôt x. Potom platí, že f = h (ak pre kubické rovnice f a h platí, že f(a) = h(a), f(b) = h(b), f(c) = h(c), f(d) = h(d), kde a,b,c,d sú rôzne čísla, potom aj f = h)

 

 

5) Polynomická funkcia n-tého stupňa je (n + 1) bodmi jednoznačne určená v prípade, že tie body neležia na PF nižšieho stupňa ako n.

 

 

6) Pre akúkoľvek polynomickú funkciu platí, že existujú také x1,x2 in R, že platí :

 

(1) na intervale je ohraničená

(2) na intervaloch je neohraničená a monotónna

 

 

7) Každá jedna polynomická funkcia má taký úsek D(f): 1, x2> na ktorom prebehnú všetky zmeny monotónnosti, na ktorom funkcia nadobúda všetky lokálne extrémy

 

 

8) Nulové body – nulové miesta alebo tiež korene algebraickej rovnice f(x) = 0, kde f je polynomická funkcie stupňa n ≥ 1 , sú prvé súradnice priesečníkov grafu PF s osou x.

 

(1) Ak x0 je nulové miesto polynomickej funkcie f, ktorá má stupeň n ≥ 1, existuje polynomická funkcia g, ktorá má stupeň n – 1, taká že pre všetky x in R platí :

 

f(x) = (x – x0) * g(x)

kde člen (x-x0) sa nazýva koreňový činiteľ

 

(2) Ak x0 je nenulový celočíselný koreň algebraickej rovnice :

 


 

kde koeficienty a0, a1...an sú celé čísla, tak potom x0 je deliteľom a0

 

(1) a (2) sa využívajú pri riešení náročnejších algebraických rovníc.

(3) PF nepárneho stupňa má aspoň jedno nenulové miesto

(4) PF stupňa n môže mať najviac n-nulových miest

 

 

9) Grafy

 

 

 

 

1.3 Racionálne funkcie

 

  • sú funkcie, ktoré sú dané podielom dvoch polynomických funkcií.

  • Funkcie s predpisom : y = frac{P(x)}{Q(x)}, kde P(x) a Q(x) sú nesúdeliteľné polynómy, navyše Q(x) je nenulový polynóm

  • D(f) racionálnej funkcie sú všetky reálne čísla, okrem tých, pre ktoré Q(x) = 0

 

 

Typy racionálnych funkcií

 

(1) racionálne celistvá funkcia

 

- Q(x) je polynóm nultého stupňa (konštantná funkcia)

- Q(x) : y = 5

 

 

(2) racionálna lomená funkcia

 

- Q(x) nie je polynóm nultého stupňa

- Q(x) : y = 5x2 + 3

- v závislosti od stupňa – lineárna, kvadratická.....

 

 

(2.1) lineárna lomená funkcia

 

- funkcia s predpisom y = frac{a_{1}x + a_{0}}{b_{1}x + b_{0}}

- platí : b1 ≠ 0; xneq - frac{b_{0}}{b_{1}}a1b0 – a0b1 ≠0

- grafom je rovnoosá hyperbola

- asymptoty sú priamky rovnobežné so súradnicovými osami:

- funkcia prostá, neohraničená, rýdzo monotónna

- graf je súmerný podľa stredu, ktorým je priesečník asymptot

 

 

 

1.4 Riešený príklad

 

Riešte rovnicu x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0. Potom túto rovnicu chápte ako funkciu f a určite o aký typ ide, ohraničenosť, párnosť – nepárnosť. Nakreslite graf a popíšte ho

 

Riešenie:

 

Riešime na základe bodu 8(2) časti 1.2. Číslo 6 má delitele ±1; ±2; ±3; ±6. V prvej časti prehlásime číslo 1 za koreň tejto rovnice, čiže dostaneme člen (x - 1), ktorým predelíme celú rovnicu. Ak nedostaneme žiadny zvyšok, číslo 1 je jedným z troch koreňov tejto rovnice.

 

Nakoľko zvyšok je nulový, tak číslo 1 je naozaj jedným z koreňov rovnice. Výsledok tohto podielu je kvadratická rovnica, ktorej korene vieme jednoducho určiť:

 

x2 - 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

 

Záver : x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3

 

Máme teda f: y = x3 – 6x2 + 11x – 6. Stupeň tejto funkcie je n = 3 a teda je to funkcia kubická. Nakoľko n je nepárne funkcia nie je ani zhora ani zdola ohraničená na D(f). Nie je ani párna ani nepárna

 

GRAF :

 

Z grafu môžeme vidieť, že na intervale <0; 3> je funkcia ohraničená zhora a v bode x = 1,5 má maximum, naopak zdola je ohraničená tiež a v bode x = 2,75 má minimum. Platí to však iba pre tento interval. Po hodnotu 1,5 funkcia rastie, potom klesá do hodnoty 2,75 a potom znova rastie až po koniec intervalu. Čiže vidíme, že na tomto úseku prebehli všetky zmeny monotónnosti a našli sme ako maximum tak aj minimum.

 

Z grafu tiež môžete vidieť, že táto funkcia má tri nulové body, čiže rovnica zodpovedajúca tejto funkcii má tri korene.

 

 

 

2.1 Neriešené príklady

 

Máme funkciu f : y = x3 – 9x2 + 26x – 24. Určite vlastnosti tejto funkcie – ohraničenosť, párnosť, nepárnosť, typ funkcie, ohraničenosť na intervale <1; 4>, extrémy na tomto intervale. Určite nulové body funkcie. Výsledky porovnajte s koreňmi rovnice

 

x3 – 9x2 + 26x – 24 = 0

 

 

2.2 Výsledky


 

Nakoľko n = 3, funkcia je kubická a na R nie je ohraničená ani zhora ani zdola, nie je ani párna ani nepárna. Na danom intervale je funkcia ohraničená aj zhora aj zdola. Maximum nadobúda v bode 2,5 a minimum v bode 3,5. Takisto po hodnotu 2,5 rastie potom klesá až po hodnotu 3,5 a potom opäť rastie až po konečný bod intervalu. Nulové body sú v bode 2; 3; 4.

← Späť na kategóriu ← Domov