Vlastnosti funkcií III.

Vypracovala: Petra Podmanická

V tejto časti vlastnosti funkcií si priblížime ďalšie dve vlastnosti, a to extrémy a periodicitu a povieme si niečo viac o inverzných funkciách.

1.1 Extrémy funkcie

A. Funkcia f má v bode a na množine M lokálne maximum, ak pre všetky x $in$ M platí f(x) ≤ f(a)

B. Funkcia f má v bode a na množine M lokálne minimum, ak pre všetky x $in$ M platí f(x) ≥ f(a)

C. Funkcia f má v bode a na množine M ostré maximum, ak pre všetky x $in$ M, x ≠ a, platí, že f(x) < f(a)

D. Funkcia f má v bode a na množine M ostré minimum, ak pre všetky x $in$ M, x ≠ a, platí, že f(x) > f(a)

E. Funkcia f má na intervale X globálne maximum v bode a, ak pre všetky x $in$ I, platí f(x) ≤ f(a)

F. Funkcia f má na intervale X globálne minimum v bode a, ak pre všetky x $in$ I, platí

f(x) ≥ f(a)

Globálne extrémy vždy závisia od intervalu, na ktorom ich skúmame, a preto ak ich chceme skúmať, musíme dobre poznať interval, na ktorom ich skúmame.

Každá spojitá funkcia na uzavretom intervale nadobúda obidva globálne extrémy.

1.2 Riešený príklad

Uveďte príklady funkcií, ktoré majú maximum, minimum. Uveďte hodnoty, v ktorých funkcie tento extrém nadobúdajú. Určite 2 funkcie, ktorá nemajú extrém. Nakreslite grafy.

Riešenie:

1) Lokálne maximum má napríklad kvadratická funkcia f: y = -5x² + 4x + 3

V bode $x = - frac{b}{2 a}$ má táto funkcia ostré maximum, v našom prípade to je x = 0,4

2) Minimum má funkcia g: y = x². V bode [0,0] má táto funkcia ostré minimum.

3) Príkladom funkcií, ktoré nemajú extrém: exponenciálne funkcie, logaritmické funkcie, mocninové funkcie typu x³, x⁵, x⁷, x⁹...., lineárne funkcie (výnimku tvorí lineárna funkcia s predpisom y = 5, ktorá má ako lokálne maximum, tak aj lokálne minimum a to v každom bode).

4) GRAFY

2.1 Periodicita

Funkcia f sa nazýva periodická funkcia práve vtedy, keď existuje také číslo p > 0, že pre každé k $in$ Z platí:

1) Ak x $in$ D(f), tak (x + kp) $in$ D(f) aj (x – kp) $in$ D(f)

2) f(x + kp) = f(x)

Číslo p sa potom nazýva perióda funkcie. Číslo k je násobok periódy p

Príklady periodických funkcií: y = 2 + (-1)^x, y = 2, goniometrické funkcie (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x). Sínus aj kosínus majú najmenšiu periódu 2π a tangens a kotangens majú najmenšiu periódu π.

3.1 Inverzná funkcia (f^-1)

A. Je definovaná na základe vzťahu :

platí pre všetky x, y

B. Iba ak je funkcia prostá, tak ku nej existuje inverzná funkcia, ktorá je sama o sebe prostá

C. f a f^-1 sú inverznými funkciami navzájom, preto platí (f^-1)^-1 = f

D. f a f^-1majú totožnú monotónnosť. To znamená, že ak f je rastúca na intervale I, tak aj k nej inverzná funkcia f^-1 je na tomto intervale rastúca.

E. Grafy f a f^-1sú súmerne združené podľa osi y = x, čo je os 1. a 3. kvadrantu

F. K funkcii f vytvoríme inverznú funkciu f^-1 jednoducho tak, že v zadaní funkcie

y = f(x) vymeníme medzi sebou x a y a z takto upravenej funkcie vyjadríme y

G. Pre dve navzájom inverzné funkcie platí :

D(f) = H(f^-1)

H(f) = D(f^-1)

H. Graf navzájom inverzných funkcií :

3.2 Riešený príklad

Ku funkcii f: $y = - 4 + 3 sqrt[]{x}$ vytvorte inverznú funkciu f^-1. Výpočtom alebo graficky dokážte, že platia body B,G,D. Nakreslite graf.

Riešenie :

Inverznú funkciu získame postupom uvedeným v bode F tejto state :

Ak si z funkcie f a f^-1 vyjadríme x, dostávame:

Platí :

D(f): x $in$ (0,∞) ↔ H(f^-1): y $in$ (0,∞)

D(f^-1): x $in$ R ↔ H(f): y $in$ R.....................................bod G dokázaný

Dôkaz bodu D:

Pôvodná funkcia	Inverzná funkcia
x₁< x₂ √x₁ < √x₂ 3√x₁ < 3√x₂ -4 + 3√x₁ < -4 + 3√x₂ f(x₁) < f(x₂) funkcia je rastúca	x₁< x₂ 4 + x₁< 4 + x₂ (4 + x₁)²< (4 + x₂)² [(4 + x₁)²]/9< [(4 + x₂)²]/9 f(x₁) < f(x₂) funkcia je rastúca

Z grafu dokážeme pravdivosť tvrdení B a D:

Aj napriek tomu, že inverzná funkcia sa naoko tvári lineárne, nie je to tak (môžete zistiť v exceli výpočtom hodnoty inverznej funkcie pre x = (1, 1.1, 1.2….3)). Vidíme, že ako f, tak aj f^-1nikdy nedosiahnu pre jedno x dve hodnoty y, a preto sú obe prosté. A obe funkcie sú na svojom intervale rastúce.

4.1 Neriešené príklady