Vypracovala: Petra Podmanická



1.1 Vyšetrovanie priebehu funkcií s využitím derivácií
 

1) Derivácia funkcie f v bode a in D(f) je nejaké číslo ,
ak táto limita existuje.
 
2) Monotónnosť funkcie: funkcia je:

 
3) Extrémy funkcie: funkcia má v bode [x0,f(x0)] lokálne
 

 
Ak , tak funkcia nemá extrém
 
4) Funkcia je konvexná v bode [x0, f(x0)] ak platí, že
Funkcia je konkávna v bode [x0, f(x0)] ak platí, že
 
5) Funkcia má v bode [x0, f(x0)] inflexný bod, ak platí:
 
 
6) Funkcia je v bode b spojitá, ak platí:
 
,
 
inak povedané funkcia f je spojitá v bode x0, ak má v tomto bode deriváciu
 
7) Ak je funkcia f prostá, tak k nej existuje inverzná funkcia. Pre túto funkciu platí

 
 
1.2 Ostatné vlastnosti
 
 
Pri vyšetrovaní priebehu funkcie ďalej určujeme:
 
1. D(f), H(f), párnosť, nepárnosť (viď. Vlastnosti funkcií I, učivá-matematika 1.roč)
 
2. Ohraničenosť (viď. Vlastnosti funkcií II, učivá – matematika 1.roč.)
 
3. Periodicitu (viď. Vlastnosti funkcií III, učivá – matematika 2.roč.)
 
4. Nulové body, intervaly s kladnými a zápornými hodnotami funkcie:
 
Nulový bod: Ak je funkcia g(x) definovaná a spojitá na uzavretom intervale a v koncových bodoch intervalu hodnoty g (d), g(e) majú rôzne znamienka, tak v intervale (d, e) existuje najmenej jedno také číslo c, v ktorom g(x) má hodnotu 0: f(c) = 0(d
 
Intervaly funkcie s kladnými, resp. zápornými hodnotami: Funkcia g(x) definovaná a spojitá na uzavretom intervale , pričom d, e nech sú susednými nulovými bodmi funkcie g(x), má v intervale (d, e) buď len kladné, resp. len záporné hodnoty funkcie.
 
5. Asymptoty
 
Asymptota → priamka, ktorá sa vzťahuje k danej funkcii. Vzdialenosť priamky od bodov funkcie sa približuje k nule, pokiaľ vzdialenosť týchto bodov bez obmedzenia rastie.
 
Asymptoty bez smernice → x = a, priamka je kolmá na os x, nastáva, ak má funkcia v bode a nevlastnú limitu sprava alebo zľava
 
Asymptoty so smernicou → y = kx + q; kde:
 
 
6. Body nespojitosti, resp. intervaly spojitosti
 
Body nespojitosti:
 
 
 
Bod nespojitosti je bod, v ktorom funkcia nie je spojitá, potom sa určia intervaly, na ktorých spojitá je.
 
 

1.3 Riešený príklad
 
Vyšetrite priebeh funkcie : y = frac{x^{2}}{x^{2} - 1}
 
Riešenie:
 
1) D(f) = R – {-1;1}

H(f): po úprave dostávame: x = sqrt[]{frac{y}{y - 1}}
 

 
H(f): y in (-∞; 0) cup (1; ∞)
 
2) Párnosť – nepárnosť, periodicita

 
Funkcia nie je periodická, nakoľko f(x) ≠ f(x + kp)
 
3) Body nespojitosti, prostosť, nulové body
Funkcia nie je prostá
Funkcia nie je spojitá iba v bodoch {1; -1}
 
Nulové body: frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = 0 Rightarrow x^{2} = 0 Rightarrow x = 0 Rightarrow funkcia pretína os „x“ iba v bode 0
 
4) Monotónnosť

 
5) Kladnosť / zápornosť
 
Interval, na ktorom je f kladná
Interval na ktorom je f záporná


 
 
6) Extrémy

 
Pomocou druhej derivácie určíme, či je nula maximum alebo minimum

 
7) Konvexnosť, konkávnosť
 
Konvexná
Konkávna


 
 
8) Inflexné body

 
9) Asymptoty
 
 
Asymptoty bez smernice
Asymtoty so smernicou
x = 1
x = -1

 
 
10) Graf
 

 

 

Použitá literatúra:

Prehľad matematiky,

Zbierka vzorcov z matematiky,

Maturitné príklady z matematiky,

vlastné poznámky