Vypracovala: Petra Podmanická


 

 

Zadanie:

 

  1. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne prienikom paraboly , osou x a priamkami x = 1; x = 2. Načrtnite obrázok a ukážte na ňom, ktorú plochu budete počítať.
  2. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne prienikom paraboly z predchádzajúceho príkladu a osou x. Načrtnite obrázok. Určite dva spôsoby, akými sa dajú určiť hranice integrálu.
  3. Pomocou metódy Per Partes vypočítajte:

 

Slovne a stručne vysvetlite, čo tieto metódy znamenajú.

 

 

Riešenie: 

 

  1. Zo zadania jasne vyplýva, že hranice, medzi ktorými budeme integrál počítať je <1; 2>. Je to viditeľné aj z grafu:

 


Takže plochu, ktorej veľkosť máme zistiť, je ohraničená zhora výsekom krivky (zelená čiara), zdola ohraničená osou x (čierna čiara) a z bokou dvoma priamkami (červená a ružová priamka).

 

 

 

Výpočet plochy:

 

Využijeme jednoduchší tvar vzťahu na výpočet obsahu plochy, nakoľko máme len jednu základnú funkciu a keďže celá plocha, ktorú treba počítať sa nachádza nad osou  x, môžeme ju vo výpočte zanedbať:

 

 

 

2. Spôsoby ako určiť hranice integrálu: odčítať z grafu priesečník krivky a osi x alebo výpočtom:

  • Graficky:

 


Z grafu jasne vidíme, že hranice sú od <-1,3>

 


  • Výpočtom zistíme, v ktorých bodoch sa funkcia rovná nule:


 



Výpočet plochy:


 

 

 

  1. Metóda Per Partes a metóda substitučná

 

- PP - ako samotný názov hovorí – po častiach – metóda sa zakladá na využití vzorca, správne určenie jeho jednotlivých častí, čo má viesť ku zjednodušeniu samotného pôvodného výrazu, ktorý sa mal integrovať a nakoniec samotnej integrácii daného zjednodušeného výrazu alebo ďalšiemu rozkladu pomocou tohto vzorca.

 

-SM – metóda založená na substitúcii, čiže nahradení

(1)   V prvom rade si určíme u’ a z toho následne využitím substitučnej metódy dostaneme u (výraz (-4x) nahradíme jednoducho integrovateľným t a upravujeme


(2)   Ďalším krokom je určenie v a jeho následná derivácia:


 

 

(3)   A teraz môžeme dosadiť do vzorca:


(4)   A začať upravovať:


 

 


Môžeme vidieť, že za integrálom nám opäť ostala zložená funkcia. Tú sme si však už vyriešili pri integrácii samotného u, takže nám stačí iba dosadiť správny výsledok:

 

 

 

Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky

Prehľad matematiky II

Vlastné stredoškolské poznámky