Vypracovala: Petra Podmanická
 
 
 

Zadanie :
 

  1. Pomocou integrálu určite objem rotačného valca (i) a rotačného kužeľa (ii) s priemerom r a výškou v
  2. Určite dĺžku čiary funkcie f(x) na intervale

 

 
 
Riešenie :
 

  1. K tomu, aby sme mohli správne odvodiť objem nejakého telesa pomocou integrálov potrebujeme obrázok, správne určenie funkcie f(x), hraníc integrálu a napokon jeho správne vyriešenie

    1. Obrázok :

i. Teleso umiestnime tak, aby sa jeho os zhodovala s osou x.

 

ii. Teleso umiestnime tak, aby vrchol kužeľa mal súradnice [0,0], čím súčasne zabezpečíme, že os telesa bude zhodná s osou x

 

 

 


 

 

 

 
    1. Určenie funkcie
i. Teleso vznikne rotáciou obdĺžnika s polomerom r okolo osi x.

Funkcia má tvar :
f(x) : y = r
 
ii. V tomto prípade je to trochu zložitejšie nakoľko f(x) je vlastne „strana“ ihlana.Priamka prechádza
počiatkom, takže bude v tvare : f(x) = k*x. Potrebujeme teda určiť k. Vychádzame z trojuholníka rvf(x) :

 

 
Z analytickej geometrie je známy poznatok, že smernicu priamky k, môžeme v pravouhlom trojuholníku okrem iného určiť ako tangens uhla, a teda pre smernicu priamky platí :

 
    1. Určenie hraníc
Určenie hraníc vždy závisí od toho, aké premenné sú známe a od toho akým spôsobom si umiestnime objekt do súradnicovej sústavy
 

i. Z obrázka vidíme, že má zmysel integrovať od nuly až po hodnotu v

ii. Taký istý prípad ako (i)
 
 
 
    1. Samotný výpočet
Vychádzame zo vzťahu pre určenie objemu rotačného telesa :

i. Postup:


ii. Pre výpočet platí:

  1. Dĺžku rovinnej krivky, ktorá je grafom funkcie, ktorá musí mať spojitú deriváciu na určitom intervale, vypočítame pomocou vzťahu :

Výpočet :

 

 

 
(A) Najskôr si treba spraviť deriváciu funkcie :
 

 

(B) Teraz spravíme jej druhú mocninu :

 
 
(C) Dosadíme do vzorca :

(D) a počítame