Ak máme skupinu k prvkov vybraných z danej množiny Z a líšia sa buď prvky, alebo ich usporiadanie, jedná sa o variácie k-tej triedy z n prvkov.
Stručne povedané:
Variácie k-tej triedy z n prvkov sú všetky možné usporiadané k-tice rôznych prvkov vybratých z n prvkov danej množiny.
Napríklad:
Máme danú množinu Z=(a,b,c), všetky variácie druhej triedy z týchto troch prvkov a,b,c sú usporiadané dvojice:
(a,b), (a,c), (b,a), (b,c) (c,a), (c,b)
Poznámka:
Permutácie n prvkov sú vlastne variácie n-tej triedy z n prvkov.
Ak máme 4 prvky (1,2,3,4) permutácie sú: P(4)= 4!
V prípade variácií sa jedná o variácie 4-prvkov 4-tej triedy.
Základný vzorec pre variácie:
Príklad:
Príklad:
POZOR: Ak k sa rovná n tak: V(n,n) = n! = P(n)
Slovný príklad:
Koľkými spôsobmi môžeme z triedy s 30 žiakmi zvoliť predsedu, podpredsedu a pokladníka?
Riešenie:
Musíme si uvedomiť, že zo skupiny 30 ľudí najskôr volíme predsedu. Po jeho zvolení ideme voliť podpredsedu a nakoniec pokladníka. Pozor, po zvolení prvého člena zo skupiny už tento člen nepripadá do úvahy na voľbu podpredsedu alebo pokladníka!
Odpoveď: Týchto možností je 24 360.
Variácie s opakovaním Variácie k-tej triedy z n prvkov s opakovaním sú všetky možné usporiadané k-tice prvkov zostavené z n prvkov. Pozor – prvky usporiadanej k-tice sa môžu opakovať.
Pre tieto variácie platí vzorec:
V´(n,k) = nk
Príklad:
V urne je 6 lístkov označených číslami 1 až 6. Koľkými spôsobmi s prihliadnutím na poradie môžeme vytiahnuť 3 z nich, pričom sa lístky do urny vracajú?
Riešenie:
Toto je typický príklad pre variácie s opakovaním, nakoľko môžeme z urny vytiahnuť opakovaný lístok (napr. 2x číslo 3).
V´(6,3) = 63
V´(6,3) = 216
Odpoveď: Týchto možností je 216.
Záver: Treba si uvedomiť, že pri variáciách je dôležité poradie.
Zopakujte si:
1. Aký je rozdiel medzi variáciami a permutáciami?2. V čom spočívajú variácie s opakovaním?
3. Koľko možných prevodov môžeme vytvoriť zo 6 ozubených kolies?
4. Koľko rôznych vrhov môžeme uskutočniť dvomi kockami?