Vypracovala: Petra Podmanická

 

 

1. Definícia a základné pojmy

 

  • Postupnosť – je funkcia y = f(n) definovaná pre všetky prirodzené čísla n. Najčastejšie sa miesto f(n) používa pri postupnostiach symbol an, kde hodnota an sa nazýva n – tý člen postupnosti

  • Obor hodnôt funkcie f – je množina všetkých členov postupnosti s označením:

 
 

  • Konečná postupnosť – je postupnosť definovaná na množine {1, 2, 3, 4, 5 …. k} a označujeme ju:

 
kde k N
 

  • Rekurentne daná postupnosť – je postupnosť, ktorú určujeme pomocou zadaných prvých k - členov postupnosti a vzťahu, z ktorého si vieme určiť člen ak+1

 

2. Vlastnosti

 

  • Monotónnosť – majme dva za sebou idúce členy postupnosti an a an+1 . Potom pre postupnosťplatí dole uvedená tabuľka:

 

 

rastúca postupnosť

neklesajúca postupnosť

nerastúca postupnosť

klesajúca postupnosť
 

 

3. Limita postupnosti

 

  • Definícia

    • je to hranica, ku ktorej sa s rastúcim n stále viac približujú členy danej postupnosti

    • inak povedané, ak si zvolíme ľubovoľne malé okolie limity postupnosti, budú sa v ňom nachádzať všetky členy postupnosti začínajúc a vrátane člena an

  • Matematický zápis:

    • ku každému existuje n0 také, že pre všetky n > n0 platí: | an – L| < ε

  • Vety používané pri limitách: ak a platia vety uvedené v tabuľke:

 

 

  • Delenie postupnosti využitím limít

    • konvergentné – limity, ktoré majú postupnosť

    • divergentné – limity, ktoré nemajú postupnosť

 

4. Príklad

 

Zadanie:

 

  • Určite limitu postupnosti

  • Pri riešení využijeme vzorec z tabuľky: a

 

V podstate si celý vzťah potrebujeme upraviť tak, aby sme tento vzťah mohli použiť. Postup pri riešení takýchto limít je taký, že si ako menovateľa, tak aj čitateľa predelíme (prenásobíme) tým členom, ktorý má najvyšší koeficient. (v našom prípade je to n1 ).

 

Matematická postup je nasledovný:

 

 

 

Teraz si celý vzťah predelíme n – kom. Dostávame:

Toto teraz dosadíme za výraz v limite a počítame:

 

A teda:

 

 

 

Použitá literatúra:

prehľad matematiky

zbierka vzorcov z matematiky

vlastné stredoškolské poznámky