Lineárne rovnice s parametrom sú rovnice, v ktorých okrem neznámych vystupuje ďalšia premenná, ktorú nazývame parameter. Riešenie takýchto rovníc spočíva v určení jej koreňov v závislosti na prípustných hodnotách parametra alebo inak povedané po úprave rovníc s parametrom nasleduje diskusia, ktoré hodnoty, resp. interval môže daný parameter nadobúdať – pre ktoré hodnoty (intervaly) parametra má dané riešenie zmysel.
Všeobecný postup pri riešení rovníc s parametrom:
1. Rovnicu upravíme na tvar: x.A(p) = B(p) , kde x je neznáma, A(p), B(p) sú výrazy s parametrom p, bez neznámej x.
2. Položíme A(p) = 0 a pre parameter, ktorý spľňa túto podmienku, rovnicu vyriešime.
3. Ak A(p) ≠ 0, rovnicu môžme deliť výrazom A(p). Takže
4. Ak použijeme neekvivalentnú úpravu, skúška je nevyhnutnou súčasťou riešenia. Pri určení koreňov sledujeme definičné obory premennej a parametra.
5. Riešenie rovnice je zjednotením všetkých možných prípadov, ktoré získame diskusiou nulových a nenulových hodnôt výrazov A(p).
Príklady:
1. pre prípad základnej lineárnej rovnice s paramterom
Majme rovnicu, v ktorej a = parameter:
5*x – a = a*x + 4
V prvom rade si túto rovnicu upravíme (tak ako káže bod 1) a teda prvky rovnice s neznámou dáme na ľavú stranu a všetky ostatné prvky na stranu ľavú. Postupnou úpravou dostávame:
Postupujeme ďalej podľa bodu 2, tzn. prirovnáme ľavú stranu rovnice (to čím násobíme x) k nule. Dostávame:
Pre hodnotu parametra „a = 5“ riešime upravenú rovnicu. Dostávame:
Ďalšou časťou riešenia je bod 3, tzn. prehlásime, že ľavá strana rovnice nie je rovná nule, z čoho logicky pre parameter vyplýva: „a ≠ 5“. Podľa bodu 3, ak sa ľavá strana rovnice nerovná nule, môžeme ľavú stranu predeliť pravou. Dostávame:
Nakoniec urobíme podľa bodu 5 záver a diskusiu o riešení. Uvádzam v podobe prehľadnej tabuľky (K je koreň, resp. riešenie danej rovnice):
| a = 5 | K = Ø → pre takúto hodnotu parametra rovnica nemá riešenie |
| a ≠ 5 |
2. pre prípad lineárnej rovnice s parametrom v menovateli
Postup je v podstate taký istý ako v predchádzajúcom prípade, len nám pribudne ešte jedno kritérium podľa ktorého budeme posudzovať správnosť a vhodnosť riešenia.
Najmä teda rovnicu:
V prvom rade si túto rovnicu upravíme podľa bodu 1. Dostávame:
Tak ako v predchádzajúcom prípade prirovnáme ľavú stranu k nule (prvý prípad), a potom prehlásime, že ľavá strana nie je rovná nule (druhý prípad) a riešime. Dostávame:
Rozdiel oproti predchádzajúcemu príkladu je v tom, že nám tu vzniká ešte jedna podmienka. Všimnite si v zadaní rovnice, čo máme v menovateli na pravej strane rovnice. Je to parameter a. Nakoľko vieme, že delenie nulou neexistuje, musíme si položiť ďalšiu podmienku, a to je:
a ≠ 0
Nakoniec spravíme záver a diskusiu:
| a = 0 | K = Ø riešenie neexistuje |
| a = 3 | K = R |
| a ≠ 3 a ≠ 0 |
K = 3 - a |
3. pre prípad lineárnej rovnice s parametrom „p3“
Opäť ako v predchádzajúcich prípadoch je postup ten istý, iba nám tu pribudne navyše niekoľko kritérií. Resp. nakoľko parameter je umocnený na tretiu, dostaneme aj viac možných riešení po prirovnaní ľavej strany k nule.
Máme rovnicu:
a3*x – 1 = a*x + a
Opäť postupne upravujeme a nakoniec prirovnáme ľavú stranu k nule. Dostávame:
A teraz postupne vyjadrujeme pre jednotlivé prípady hodnoty parametra a:
→ toto nikdy nenastane
→ toto tiež nikdy nenastane
→ K =R
Z tohto všetkého môžeme urobiť nasledovný záver:
| a = 0 | K = Ø |
| a = 1 | K = Ø |
| a = - 1 | K = R |
| a ≠ 0 a ≠ 1 a ≠ - 1 |