Determinanty druhého a tretieho stupňa

Vypracovala: Petra Podmanická

Determinant je číslo priradené štvorcovej matici, tj. štvorcovej tabuľke, ktorá pozostáva z n*nprvkov poľa R, ktoré sú rozmiestnené v n riadkoch a n stĺpcoch.

Závadzajú sa dvoma spôsobmi:

pomocou permutácií
pomocou riešenia sústavy rovníc (tomu sa budeme venovať v tejto téme)

Vlastnosti determinantov

Hodnota determinantu sa nezmení, ak vymeníme stĺpce za riadky.

Hodnota determinantu sa zmení na opačnú, ak navzájom vymeníme niektoré dva riadky.

Ak v determinante vynásobíme niektorý riadok číslom rôznym od nuly tak dostaneme determinant, ktorý sa rovná c-násobku pôvodného determinantu.

Ak je niektorý riadok determinantu rovný nule, tak hodnota determinantu je nulová.

Determinant matice, v ktorej sú dva riadky rovnaké sa rovná nule.

Determinant matice, ktorého jeden riadok je násobkom iného riadku sa rovná nule.

Determinant matice, v ktorej je jeden riadok lineárnou kombináciou ostatných sa rovná nule.

Ak pripočítame k niektorému riadku determinantu lineárne kombináciu ostatných riadkov, hodnota determinantu sa nezmení.

Využitie determinantov druhého stupňa na riešenie lineárnych rovníc o dvoch neznámych

Majme sústavu rovníc:

A máme nájsť jej korene pomocou determinantov.

Ako prvé si ten determinant napíšeme. Budem postupovať podľa predlohy:

Ak máme sústavu rovníc:

a₁*x + a₂*y = b₁

a₃*x + a₄*y = b₂

Tak potom pre ich determinanty platí:

a teda pre výpočet:

A napokon pre naše neznáme platí, že ich dostaneme podielom veľkosti prislúchajúceho determinantu a determinantu sústavy

No a pre našu sústavu rovníc platí:

pre celú sústavu:

pre "x":

pre "y":

Hodnoty neznámych dostaneme už spomínaným predelením, a preto:

Determinanty tretieho stupňa – Sarrusovo pravidlo

Sarrusovo pravidlo sa používa pri riešení troch lineárnych rovníc o troch neznámych. Postupuje sa presne tak isto ako v predchádzajúcom prípade s tým rozdielom, že pod čísla troch rovníc si musíme ešte dopísať presne v danom poradí prvú a druhú rovnicu, aby sme ich potom ľahko krížovým pravidlom mohli prenásobiť. Uvádzam príklad:

Majme ľavú stranu lineárnej rovnice pozostávanúcu z nasledovných členov

a + b + c =

d + e + f =

g + h + i =

Z toho dostávame:

Všimnite si, že ak by sme nedoplnili posledné dva riadky, tak by sme potom „g“ nemali s čím násobiť, resp. „d“ by sme mohli vynásobiť iba jedným členom, čo nie je v tomto prípade prípustné. Tento determinant má nasledovné riešenie:

D = a*e*i + d*h*c + g*b*f – c*e*g – f*h*a – i*b*d

V prípade, že riešime rovnicu, tak neznáme opäť dostaneme tak, že predelíme determinant prisluchajúci neznámej determinantom celej sústavy.

Príklad:

Majme sústavu rovníc:

Vyriešime si determinant sústavy:

A teraz vyriešime determinanty pre jednotlivé neznáme. Všimnite si akým spôsobom dosádzam do matice ľavú stranu rovnice. Je to vždy na miesto stĺpca, v ktorom sa nachádza neznáma, ktorej determinant práve počítame (ak počítame det. pre x₂, nahradím čísla (2, 2, -1) číslami (-7, -7, 3)

Determinant pre x₁