Nerovnice sú „rovnice“, v ktorých sú ľavá strana a pravá strana výrazy, ktoré sú spojené reláciami (< > ≤ ≥). Existujú nerovnice lineárne, kvadratické, kubické, s parametrom, s absolútnou hodnotou, iracionálne, exponenciálne, logaritmické, goniometrické.

 

Na rozdiel od rovníc, v ktorých hľadáme konkrétne neznáme, v prípade nerovníc ide o určenie intervalu vyhovujúcemu danej nerovnici.

 

Ekvivalentné úpravy

Dôsledkové úpravy

  • pripočítanie alebo „odpočítanie“ toho istého čísla k obidvom alebo „od obidvoch“ strán nerovnice (výrazu), ktorý je definovaný na celom definičnom obore nerovnice (ďalej len D(f))

  • Vynásobenie (delenie) oboch strán nerovnice tým istým číslom rôznym od nuly

  • Vynásobenie oboch strán nerovnice kladným výrazom

  • Vynásobenie oboch strán nerovnice záporným výrazom, pričom obrátime znak nerovnosti

  • Umocnenie oboch strán na druhú, ak obe strany nadobúdajú na celom D(f) nezáporné hodnoty

  • Odmocnenie oboch strán nerovnice, ak tieto nadobúdajú na celom D(f) nezáporné hodnoty

 

 

Lineárne nerovnice s jednou neznámou a metóda nulových bodov

 

Majme nerovnicu: (2x – 3) / (3x – 7) > 0

 

Je to nerovnica, nakoľko je použitý jeden zo symbolov (< > ≤ ≥) a je lineárna, pretože neznáma je umocnená na „1“.

 

Ako prvú vec, ktorú pri riešení nerovníc spravíme je to, že zistíme D(f) nerovnice. Takže: 3x – 7 ≠ 0 → x ≠ 7/3

 

Teraz si zistíme, aké riešenia vyhovujú nerovnici, a teda celý ten člen je väčší ako nula ak menovateľ aj čitateľ sú kladné výrazy, resp. aj vtedy, keď sú oba záporné. Dostávame:

 

2x – 3 > 0 a 3x – 7 > 0

2x – 3 < 0 a 3x – 7 < 0

x > 3/2, x > 7/3

x < 3/2, x < 7/3

x1 in (7/3, infty)

x2 in (- infty, 3/2)

 

 

Výsledný hľadaný interval dostávame spojením čiastkových intervalov. Teda: x = x1 cup x2 = (- infty, 3/2) cup (7/3, infty)

 

 

Tento istý príklad si teraz vyriešime metódou nulových bodov:

 

1. Celú nerovnicu si upravíme do takého tvaru, aby na jej pravej strane bola nula, tzn. všetko, čo je na pravej strane úpravami prehodíme na stranu ľavú (naša nerovnica je už do takéhoto tvaru upravená, preto to robiť nemusíme)

 

 

2. Prirovnáme menovateľa aj čitateľa k nule a vyriešime:

 

  • 2x – 3 = 0 → x = 3/2

  • 3x – 7 = 0 → x = 7/3

 

 

3. Toto riešenie nám celý interval rozdelí na podintervaly: 1. (- infty, 3/2), 2. (3/2, 7/3) a 3. (7/3, infty)

 

 

4. Pre každý jeden interval určíme, či je menovateľ a čitateľ kladný alebo záporný. To spravíme tak, že si vyberieme nejakú hodnotu z daného intervalu a dosadíme do nerovnice, napríklad z prvého intervalu si vezmem „-1“

 

  • 2*(-1) – 3 = -5

  • 3*(-1) – 7 = -10

 

 

5. Riešenia si pre prehľadnosť zapíšeme do tabuľky:

 

(- infty, 3/2)

(3/2, 7/3)

(7/3, infty)

2x-3

-

+

+

3x-7

-

-

+

 

 

6. Zo zadania nerovnice vyplýva, že aj menovateľ aj čitateľ musia byť buď kladné alebo záporné, a preto našej nerovnici vyhovuje prvý a tretí interval.

 

Poznámka: ak by naša nerovnica bola menšia ako nula, vtedy by riešeniu vyhovoval druhý interval, nakoľko rovnica je menšia ako nula vtedy, ak je menovateľ menší ako nula a čitateľ väčší ako nula, resp. naopak

 

 

Sústava lineárnych nerovníc s jednou neznámou

 

Je to nerovnica, ktorá môže byť zadaná veľmi komplikovane, preto je dôležité rozdeliť si ju na časti a riešiť „x“ samostatne pre čiastkové rovnice. Výsledné riešenie dostávame prienikom riešení jednotlivých rovníc. Pri týchto rovniciach je vhodné riešenia si graficky zobraziť, nakoľko výsledné riešenie musí spĺňať súčasne všetky podmienky nerovnice.

 

Majme teda nerovnicu: 5x – 3 ≤ 3x + 1 < 5x

 

  • Rozdelíme si nerovnicu na dve časti a riešíme samostatne:

 

5x – 3 ≤ 3x + 1

3x + 1 < 5x

2x ≤ 4

1 < 2x

x ≤ 2

x > ½

 

  • Výsledné rišenie dostávame prienikom čiastkových riešení (intervalov). To si zakreslíme graficky:

 

 

  • Riešením je žlto vyšráfovaná plocha, a teda: x in (1/2 , 2>

 

Poznámka: Mohli by sme riešiť aj prípad, kedy 5x -3 < 5x, ale to je zbytočné, nakoľko ak platí, že „a < b“ a tiež „b < c” tak musí zákonite platiť aj to, že „a < c“

← Späť na kategóriu ← Domov