Nerovnice II. – kvadratická a bikvadratická nerovnica

Kvadratická nerovnica – pri jej riešení budeme používať alebo metódu nulových bodov, alebo rozklad na súčin, kde v konečnom tvare dostaneme nerovnicu v tvare: a*(x – x₁)*(x – x₂) < 0, pričom platí, že p*q < 0 ak p < 0 a súčasne q > 0 alebo naopak.

 

 

Majme nerovnicu: 3x² – 7x + 4 ≤ 0

 

• V prvom rade si zistíme korene kvadratickej rovnice 3x² – 7x + 4 = 0. Dostávame: x₁ = 1 a x₂ = 4/3

• Z týchto koreňov dostaneme nerovnicu 3*(x – 1)*(x – 4/3) ≤ 0. Riešime:

 

 

 

• Z prvej časti dostávame riešenie x₁ <1, 4/3>. Riešením druhej časti je prázdna množina. Zjednotením týchto dvoch intervalov dostávame riešenie tejto nerovnice a je to: x <1, 4/3>.

 

Riešme teraz túto nerovnicu pre opačný prípad, t.j. ak je väčšia ako nula. Budeme ju riešiť metódou nulových bodov:

 

• Korene vyššie uvedenej rovnice nám rozdelia interval riešenia na tri časti, t.j.: 1. x (- , 1), 2. x (1, 4/3) a 3. x (4/3, )

• Z každého intervalu si vyberieme jedno číslo a dosadíme do pôvodnej nerovnice. Zistíme, či je v tomto intervale nerovnica kladná alebo záporná. Riešením sú samozrejme tie intervaly, v ktorých nerovnica nadobúda kladné hodnoty.

• Riešenie je zobrazené v nasledovnej tabuľke, boli vyberané čísla 0 pre prvý interval, 1.1 pre druhý interval a 10 pre tretí interval:

 

	(- , 1)	(1, 4/3)	(4/3, )
3x2 – 7x + 4 > 0	4	-0,07	234
	+	-	+

 

Bikvadratická nerovnica – tak isto ako kvadratická nerovnica, aj táto sa dá riešiť dvoma spôsobmi, avšak v tomto prípade je metóda nulových bodov omnoho jednoduchšia. Ukážeme si oba spôsoby na nerovnici: x⁴ – 5x² + 4 < 0

 

 

Metóda nulových bodov

 

 

• Koreňmi tejto rovnice sú čísla -2; -1; 1; 2. Tieto nám rozdelia interval na 5 častí: 1. x (- , - 2), 2. x (-2, - 1), 3. x (- 1, 1), 4. x (1, 2) a 5. x (2, )

• Z jednotlivých intervalov si vyberieme čísla, dosadíme do pôvodnej nerovnice a zistíme, v ktorých intervaloch je kladná a kde je záporná. Pričom riešením sú tie intervaly, v ktorých je nerovnica záporná

• Z jednotlivých intervalov boli vybrané čísla (postupne ako idú intervaly) -3; -1.5; 0; 1.5; 3. Riešenie je zobrazené v tabuľke:

 

 

 

 

Metóda rozkladu na súčin

 

Aby sme si riešenie touto metódou zjednodušili využijeme substitúciu, kde prehlásime, že: x⁴ = y²

 

Vyriešime zjednodušenú nerovnicu, a potom na základe substitučnej rovnice vyriešime, resp. upravíme interval, ktorý nám vyšiel z rovnice prvej. Takže postup:

 

• Využijeme substitúciu a riešime rovnicu: y² – 5y + 4 = 0. Koreňmi sú čísla 4; 1

• Spravíme si súčinovú rovnicu, t.j. (y – 4)*(y – 1) < 0 a riešime. Aby bola nerovnica záporná musí byť prvý člen kladný a druhý záporný, resp. naopak:

 

 

• A teraz už viackrát avizované znovu použite substitučnej rovnice. Ak platí, že

x⁴ = y²

teda

x² = y

tak potom tiež platí, že

x² < 4 → |x| < ± 2

x² > 1 → |x| > ± 1

 

• Teraz riešime graficky. Vzniknú nám dva intervaly, ktoré sú vlastne našim riešením. Zakresľujeme intervaly: x (- 2, 2) a x (- , - 1) (1, )

• A teda výsledný interval je: x (- 2, - 1) (1, 2)

Zopakujte si:

1. Riešte kvadratickú nerovnicu 2 – x – x2 > 0, [x = (-2; 1)]

2. Riešte bikvadratickú nerovnicu x4 – 2x2 – 63 ≤ 0, [x = <-3; 3>]

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky

Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.