Vypracovala: Petra Podmanická

 

 

Definícia – nech je daná rovina R a v nej dva rôzne body F, G a kladné reálne číslo také, že pre neho platí: 2*a < |FG|

Hyperbola

  • je množina všetkých bodov M nachádzajúcich sa v rovine R, pre ktoré platí: ||MF| - |MG|| = 2a

  • je množina takých bodov M, ktoré majú konštantnú absolútnu hodnotu sprievodičov MF a MG

Obrázok: hlavné a pomocné body hyperboly

Popis k obrázku:

  • A; B sú vrcholy hyperboly

  • C; D nemajú s hyperbolou spoločné body, ale súvisia s ňou

  • F; G sú tzv. ohniská hyperboly

  • S je priesečník osí súradnicovej sústavy a stred štvorca ABCD

  • a = |AS| = |BS| je hlavná polos hyperboly

  • b = |CS| = |DS| je vedľajšia polos hyperboly

  • e = |FS| = |GS| je excentricita hyperboly

  • |FM|; |GM| sú tzv. Sprievodiče bodu M

  • |AB| je hlavná os hyperboly

  • |CD| je vedľajšia os hyperboly

  • a1; a2 sú tzv. asymptoty hyperboly

 

Výpočtové vzťahy platné pre hyperbolu a jej dotyčnice

  • Z pravouhlého trojuholníka ASP platí vzťah: e2 = a2 + b2

  • Analytické vyjadrenie hyperboly s osami na osiach súradníc a s polosami a,b je rovnica: x2/a2 – y2/b2 = 1

  • Pre asymptoty hyperboly, čo sú priamky dotýkajúce sa hyperboly v nekonečne (čiže hyperbola sa k nim blíži, ale v konečne sa ich dotkne) platí vzťah: y = ± (b/a)*x

  • V prípade obrátenej hyperboly (viď. druhý obrázok) platia pre hyperbolu a jej asymptoty nasledovné rovnice: (y2/a2) – x2/b2 = 1 a y = ± (a/b)*x

 

Obrázok 2:

  • Ak má hyperbola stred v bode S[m,n], hlavnú os rovnobežnú s osou x, vedľajšiu s osou y, jej rovnica má tvar: [(x – m)2/a2] - [(y – n)2/b2] = 1

  • A pre dotyčnicu k nej v bode T[xT, yT] platí vzťah:

 

Príklad

 

Určte stred, osi a asymptoty hyperboly vyjadrenej rovnicou 9x2– 4y2 – 18x – 16y – 43 = 0

Túto rovnicu si musíme postupne poupravovať tak, aby sme dostali tvar uvedený v bode 5. To znamená, že postupne dopĺňame a prenásobujeme, až tento tvar dostaneme, t.j.:

(9x2 – 18x) – (4y2 + 16y) = 43

9(x2 – 2x) – 4(y2 + 4y) = 43

 

Teraz si to na jednej aj druhej strane potrebujeme doplniť tak, aby sme dostali v zátvorkách tvar, ktorý bude zodpovedať niektorému z rozkladných vzorcov. V našom prípade: Do prvého výrazu potrebujeme jednotku do druhého štvorku (aby sme to vedeli zložiť) a tým pádom na pravej strane potrebujeme pričítať deviatku a odčítať 16

 

 

 

No a z tejto rovnice vidíme, že sa jedná o hyperbolu so stredom S[1;-2], jej hlavná os je rovnobežná s osou x, a = 2; b = 3 a pre asymptotu platí rovnica: y + 2 = ± 3/2(x – 1)

 

Použitá literatúra

  • Prehľad matematiky II – V. Burjan, Ľ. Hrdina, M. Maxian

  • Vlastné poznámky

  • Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.