Nerovnice a ekvivalentná úprava rovníc a nerovníc

Vypracovala: Petra Podmanická

Nerovnica f(x) >; <; ≥; ≤ g(x)

ak sú f(x) = g(x) funkcie premennej x definovanej na množine R, tak pod pojmom nerovnica rozumieme vzťah f(x) >; <; ≥; ≤ g(x),ktorý znamená, že hodnota zobrazenia f v bode x je väčšia, menšia, väčšia alebo rovná, menšia alebo rovná hodnote zobrazenia g v bode x, pričom f a g sú zvolené zobrazenia
riešiť nerovnicu znamená určiť všetky premenné x $\in$ D, pre ktoré sa z danej nerovnice stáva pravdivá nerovnosť

- rozpoznávame:

Lineárna nerovnica

je to nerovnica, v ktorej sa vyskytuje premenná so stupňom mocniny maximálne jeden, t.j. nerovnica, ktorá sa dá upraviť na jeden z tvarov:

ax + b (>; <; ≥; ≤) 0

a; bsú ľubovolné reálne čísla. Neznámou je x

Kvadratická nerovnica

je to nerovnica, v ktorej sa vyskytuje premenná so stupňom mocniny maximálne dva, t.j. nerovnica, ktorá sa dá upraviť na jeden z tvarov:

ax² + bx + c (>; <; ≥; ≤) 0

a; b; c sú ľubovolné reálne čísla. Neznámou je x; a≠ 0
riešime ju pomocou nulových bodov, číselnej osi a intervalov, ktoré vzniknú vďaka nulovým bodom
rovnice anulujeme a zistíme znamienko nenulovej strany v niektorom z intervalov a to pomocou zvoleného čísla z tohoto intervalu s tým, že to nesmie byť hranica
znamienko sa v jednotlivých intervaloch strieda

Lineárna nerovnica s neznámou v menovateli

sú, ako sám názov hovorí, nerovnice, v ktorých sa neznáma vyskytuje v menovateli
Všeobecný tvar takejto nerovnice je:

Lineárna nerovnica s absolútnou hodnotou

je nerovnica, ktorá má aspoň neznámu ohraničenú absolútnou hodnotou
postup riešenia je totožný s riešením lineárnych rovníc s absolútnou hodnotou s tým rozdielom, že nezisťujeme či daný koreň patrí do danej časti definičného oboru, ale zisťujeme prienik riešenia a danej časti definičného oboru

Sústava lineárnych nerovníc

Sú rovnice typu:
Riešime ich tak, že každú nerovnicu vyriešnime samostatne, čiže určíme ich obory pravdivosti a celkové riešenie, t.j. výsledný obor pravdivosti dostaneme ako ich prienik

Intervaly nerovníc

rozpoznávame dva základné druhy intervalov:

otvorený:

x > a → x = (a; ∞)

a < x < b → x = (a; b)

uzavretý
- úplne uzavretý
  - a ≤ x ≤ b → x =

zľava uzavretý
- x ≥ a → x =

b > x ≥ a → x =

sprava uzavretý

x ≤ a → x = (-∞; a>

b ≥ x > a → x = (a; b>

Ekvivalentné úpravy

Rovníc

Názov ekvivalentnej úpravy

Zápis ekvivalentnej úpravy

Príklad ekvivalentnej úpravy

Výmena strán rovnice

f(x) = g(x) ↔ g(x) = f(x)

x² = 4

4 = x²

Pripočítanie funkcie h(x) definovanej na množine D

f(x) = g(x) ↔ g(x) + h(x) = f(x) + h(x)

x²+ x = 4 + x

Násobenie nenulovou funkciou h(x) definovanej na množine D

h(x) ≠ 0 pre x $\in$ D

f(x) = g(x) ↔ g(x) * h(x) = f(x) * h(x)

x²*x = 4*x

Delenie nenulovou funkciou h(x) definovanej na množine D

h(x) ≠ 0 pre x $\in$ D

f(x) = g(x) ↔ g(x) : h(x) = f(x) : h(x)

x²:x = 4:x

Umocnenie nezáporných strán rovnice

f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 pre x $\in$ D

f(x) = g(x) ↔ gⁿ(x) : fⁿ(x) pre

n $\in$ N

(x²)² = 4²

Odmocnenie nezáporných strán rovnice

f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 pre x $\in$ D

f(x) = g(x)↔ g^1/n(x) : f^1/n(x) pre n $\in$ N

(x²)^1/2 = 4^1/2

Logaritmovanie kladných strán rovnice

f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 pre x $\in$ D

f(x) = g(x)↔ log{g(x)} : log{f(x)}

log x² = log 4

ln x² = ln 4

Nerovníc

Názov ekvivalentnej úpravy

Zápis ekvivalentnej úpravy

Príklad ekvivalentnej úpravy

Výmena strán nerovnice spojená so zmenou znaku nerovnosti

f(x) < g(x) ↔ g(x) > f(x)

x² < 4

4 > x²

Pripočítanie funkcie h(x) definovanej na množine D

f(x) < g(x) ↔ g(x) + h(x) > f(x) + h(x)

x²+ x > 4 + x

Násobenie kladnou nenulovou funkciou h(x) definovanej na množine D

h(x) ≠ 0; h(x) > 0 pre x $\in$ D

f(x) < g(x) ↔ f(x) * h(x) < g(x) * h(x)

x²*x < 4*x

Násobenie zápornou nenulovou funkciou h(x) definovanej na množine D

h(x) ≠ 0; h(x) > 0 pre x $\in$ D

f(x) < g(x) ↔ f(x)*h(x) > g(x) : h(x)

x²*(-x) > 4*(-x)

Umocnenie nezáporných strán rovnice

0 $\subseteq$ f(x) < g(x)↔ fⁿ(x) < gⁿ(x) pre n $\in$ N

(x²)² < 4²

Odmocnenie nezáporných strán rovnice

0 $\subseteq$ f(x) < g(x)↔ f^1/n(x) < g^1/n(x) pre n $\in$ N

(x²)^1/2 < 4^1/2

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky

Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.

Nerovnice a ekvivalentná úprava rovníc a nerovníc

Informácie

Kategórie

Názov ekvivalentnej úpravy	Zápis ekvivalentnej úpravy	Príklad ekvivalentnej úpravy
Výmena strán rovnice	f(x) = g(x) ↔ g(x) = f(x)	x² = 4 4 = x²
Pripočítanie funkcie h(x) definovanej na množine D	f(x) = g(x) ↔ g(x) + h(x) = f(x) + h(x)	x²+ x = 4 + x
Násobenie nenulovou funkciou h(x) definovanej na množine D	h(x) ≠ 0 pre x $\in$ D *f(x) = g(x) ↔ g(x) h(x) = f(x) * h(x)**	*x²x = 4x*
Delenie nenulovou funkciou h(x) definovanej na množine D	h(x) ≠ 0 pre x $\in$ D f(x) = g(x) ↔ g(x) : h(x) = f(x) : h(x)	x²:x = 4:x
Umocnenie nezáporných strán rovnice	f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 pre x $\in$ D f(x) = g(x) ↔ gⁿ(x) : fⁿ(x) pre n $\in$ N	(x²)² = 4²
Odmocnenie nezáporných strán rovnice	f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 pre x $\in$ D f(x) = g(x)↔ g^1/n(x) : f^1/n(x) pre n $\in$ N	(x²)^1/2 = 4^1/2
Logaritmovanie kladných strán rovnice	f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 pre x $\in$ D f(x) = g(x)↔ log{g(x)} : log{f(x)}	log x² = log 4 ln x² = ln 4