Vypracovala: Petra Podmanická

 

 

Rovnica f(x) = g(x)

  • ak sú f(x) = g(x) funkcie premennej x definovanej na množine R, tak pod pojmom rovnica rozumieme vzťah f(x) = g(x), ktorý znamená, že hodnota zobrazenia f v bode x sa rovná hodnote zobrazenia g v bode x, pričom f a g sú zvolené zobrazenia

  • riešiť rovnicu znamená určiť všetky premenné x D, pre ktoré sa z danej rovnice stáva pravdivá rovnosť

  • množina D sa nazýva obor definície, resp. definičný obor

  • všetky riešenia rovnice nazývame koreňmi rovnice a tieto tvoria obor pravdivosti K

 

  • rovnice delíme:

 

 

    1.    Lineárne rovnica s neznámou x je každá rovnica, ktorá sa dá upraviť na tvar ax + b = 0, pričom a R ; b R a ďalej pre ne platí:

      • a ≠ 0 → koreň x = -b/a

      • a = 0; b = 0 → existuje nekonečne veľa riešení

      • a = 0; b ≠ 0 → neexistuje žiadne riešenie

 

 

Lineárna rovnica s neznámou v menovateľovi

Vždy musíme určiť definičný obor a overiť si, či všetky vypočítané korene do tohto oboru patria

Musíme urobiť skúšku správnosti

 

 

Lineárna rovnica s absolútnou hodnotou

Metóda, ktorú používame pri riešení takéhoto typu rovníc sa nazýva metóda intervalov. Jej princíp spočíva v tom, že nájdeme nulové body, t.j. hodnoty premenných, pre ktoré výrazy v absolútnych hodnotách nadobúdajú nulové hodnoty a rovnicu riešime pre každý interval samostatne.

Dostanem toľko čiastkových oborov pravdivosti, koľko je intervalov

Výsledný obor pravdivosti je zjednotením čiastkových oborov pravdivosti

 

 

Lineárna rovnica s parametrom

Je to rovnica, ktorá okrem hlavnej neznámej obsahuje aj ďalšiu neznámu a to parameter

Tento parameter sa vždy vyskytuje len v prvej mocnine, t.j. p1

 

 

  1. Kvadratická rovnica je rovnica, ktorá je vyjadrená v tvare ax2 + bx + c = 0, pričom platí a R ; a≠0; b R; c R

      • ax2 je kvadratický člen

      • bx je lineárny člen

      • c je absolútny člen

      • a je ľubovolné reálne číslo stojace pred neznámou x; koeficient pri kvadratickom člene

      • b je ľubovolné reálne číslo stojace pred neznámou x; koeficient pri absolútnom člene

      • Kvadratickú rovnicu môžeme riešiť úpravou na súčin, substitúciou alebo doplnením do štvorca

        1. Úprava na súčin – Ak má kvadratická rovnica tvar ax2 + bx + c = 0 a x1 a x2 sú koreňmi kvadratickej rovnice, tak platí:

ax2 + bx + c = a*(x - x1)(x – x2)

        1. Substitúcia – Spočíva v nahradení kubickej neznámej kvadratickou neznámou (x4 = t2 → x2 = t). Vzniknutá rovnica sa potom rieši ako klasická kvadratická

        2.  Doplnenie do štvorca – Je úprava, ktorá sa používa predovšetkým v rovniciach s viacerými neznámymi. Uvádzam príklad:

y = x2 – 2x

y = x2 – 2x + 1 – 1

y = (x – 1)2 – 1 → x = 1; y = -1

 

 

Všeobecná kvadratická rovnica

Je rovnica, ktorá je vyjadrená v tvare ax2 + bx + c = 0, pričom platí a R ; b R; c R; c≠0.

Tento tvar nazývame tzv. anulovaným tvarom, nakoľko na jeho pravej strane vystupuje 0.

Ak sú x1 a x2 koreňmi kvadratickej rovnice, tak pre ne platia Vietove vzorce, t.j.:

    •   x1 + x2 = -b/a

    •  x1*x2 = c 

 

Diskriminant je daný v tvare: D=b2 – 4ac a platia pre neho nasledovné pravidlá

  • D > 0, kvadratická rovnica má dva rôzne korene

  • D < 0 kvadratická rovnica nemá žiadny koreň

  • D = 0 kvadratická rovnica má zdvojený koreň, čiže ten istý koreň dva krát

 

 

Rýdzo kvadratická rovnica

Je rovnica, pri ktorej je koeficient stojaci pri lineárnom člene nulový a teda rovnica má tvar: ax2 + c = 0

 

 

Kvadratická rovnica bez absolútneho člena

Je rovnica, ktorá ako sám názov hovorí, má nulový absolútny člen. Rovnica je teda v tvare: ax2 + bx = 0.

Túto rovnicu riešime vynímaním neznámej pred zátvorku

 

 

Normovaná kvadratická rovnica

Je upravená všeobecná kvadratická rovnica do tvaru s využitím parametrov p a q

Získame ju tak, že rovnicu predelíme výrazom a a za členy, ktoré nám vzniknú dosadíme parametre, t.j:

ax2 + bx + c = 0........../a

x2 + x*(b/a) + c/a = 0

x2 + p*x + q = 0

 

 

Kvadratická rovnica s absolútnou hodnotou

Je rovnica, ktorá má neznámu v absolútnej hodnote

Riešime ju rovnakým spôsobom, ako rovnicu lineárnu s absolútnou hodnotou

 

 

  1. Sústava rovníc je v podstate systém, ktorý obsahuje viac ako jednu neznámu a na jej vyriešenie sú k dispozícii viac ako jedna rovnica, t.j. koľko neznámych, toľko rovníc

 

 

Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi

Je dvojica lineárnych rovníc s dvoma neznámymi, ktoré spolu súvisia.

Riešením tejto sústavy nazývame takú usporiadanú dvojicu čísiel [x, y], ktorá po dosadení do obidvoch rovníc sústavy za príslušné premenné, zmení každú z týchto rovníc na pravdivý výrok o rovnosti čísiel

Môžeme ju riešiť graficky alebo numericky (dosadzovacia, ščítacia, porovnávacia metóda)

Všeobecný zápis:

ax + by = c

dx + ey = f

 

 

Sústava troch lineárnych rovníc s troma neznámymi

Je trojica lineárnych rovníc s troma neznámymi, ktoré spolu súvisia

Riešením tejto sústavy nazývame takú usporiadanú trojicu čísiel [x, y, z], ktorá po dosadení do všetkých troch rovníc sústavy za príslušné premenné, zmení každú z týchto rovníc na pravdivý výrok o rovnosti čísiel

Používame pri nej rovnaké metódy ako pri sústave s dvoma neznámymi

Všeobecný zápis:

A1*x + B1*y + C1*z = D1

A2*x + B2*y + C2*z = D2

A3*x + B3*y + C3*z = D3

 

 

Sústava dvoch kvadratických rovníc s dvoma neznámymi

Je to dvojica kvadratických rovníc s dvoma neznámymi, ktoré spolu súvisia

Riešením je štvorica čísiel, a to: x1, x2 a y1, y2

Všeobecný zápis:

A1*x2 + B1*y + C1 = 0

A2*x2 + B2*y + C2 = 0

 

 

Sústava kvadratickej rovnice a lineárnej rovnice

Je to dvojica rovníc s dvoma neznámymi pričom jedna je lineárna a tá druhá musí byť kvadratická

Riešime ju zvyčajne dosadzovacou metódou, čiže z lineárnej rovnice si vyjadríme neznámu a túto dosadíme do kvadratickej rovnice. Hodnotu druhej premennej dopočítame pomocou substitučnej metódy

Všeobecný tvar:

A1*x2 + B1*y2 + C1 = 0

A2x + B2y + F = 0

 

 

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky

Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.