Vypracovala: Petra Podmanická

 

 

Základné pojmy

 

V obore N pre ľubovolnú dvojicu prirodzených čísiel a,b platí nasledovná definícia:

Číslo a je deliteľné číslom b práve vtedy, ak existuje prirodzené číslo k také, že platí

 

a = b*k

 

a teda vtedy, ak každé číslo a je „násobkom“ čísla b alebo inak povedané ak číslo b je „deliteľom“ čísla a

 

Pre každé prirodzené číslo n platí nasledovná rovnosť:

n=1*n

 

Z uvedeného vyplýva, že číslo 1 je deliteľné jedným prirodzeným číslom, a to samým sebou. Ďalej z uvedeného platí, že ľubovolné číslo n > 1 je deliteľné minimálne číslom 1 a samým sebou. Ak je

 

  1. prirodzené číslo n > 1 deliteľné iba samým sebou a jednotkou, hovoríme o prvočísle. Pre prvočísla platí veta: Ak prirodzené číslo n > 1 nie je deliteľné žiadnym prvočíslom p, pre ktoré platí vzťah p ≤ √n, potom n je prvočíslo

  2. prirodzené číslo n > 1 deliteľné okrem seba a jednotky ešte iným číslom, hovoríme o zloženom čísle.

 

Prvočíselný rozklad zloženého čísla: Každé prirodzené číslo n > 1 sa dá napísať jediným spôsobom v tvare , kde p1 < p2 < … k sú prvočísla a r1; r2; … rk sú prirodzené čísla. Hlavným činiteľom v prvočíselnom rozklade je tzv. prvočiniteľ

  • Základná metóda používaná na určovanie prvočíselného rozkladu je založená na postupnom delení daného prirodzeného čísla inými prvočíslami, ktoré sú menšie ako skúmané prirodzené číslo

 

 

Kritéria deliteľnosti

 

Prirodzené číslo n je deliteľné:

 

  • dvomi práve vtedy, ak končí číslom 0; 2; 4; 6; 8

  • tromi práve vtedy, ak je aj jeho ciferný súčet deliteľný tromi

  • štyrmi práve vtedy, ak je jeho posledné dvojčíslie deliteľné 4

  • piatimi práve vtedy, ak sa končí číslicou 5 alebo 0

  • šiestimi práve vtedy, ak je súčasne deliteľné 2 a 3

  • ôsmimi práve vtedy, ak je jeho posledné trojčíslie deliteľné 8

  • deviatimi práve vtedy, ak je jeho ciferný súčet deliteľný 9

  • desiatimi práve vtedy, ak končí číslicou 0

  • jedenástimi práve vtedy, keď je súčet párnych rádov rovný súčtu nepárnych rádov alebo sa tieto líšia o násobok 11

 

Príklad:

Zistite, či je výraz Q = n3 + 2n deliteľné číslom 3.

Postup je veľmi jednoduchý. V podstate si postupne za číslo n budeme dosdazovať výrazy 3k; 3k + 1; 3k + 2 a budeme zisťovať, či je Q v tomto upravenom tvare deliteľný číslom 3. To znamená:

Q = n3 + 2n = n*(n2+2)

 

  1. n = 3k → Q = 3k*[(3k)2+2)] = 3k*(9k2+2)…..Tento tvar Q je určite deliteľný číslom 3 nakoľko výraz 3k pred zátvorkou je deliteľný číslom 3. Ukážka:

 

  1. n = 3k + 1→ Q = (3k+1)*[(3k+1)2+2)] = (3k+1)*(9k2+6k+1+2)= =(3k+1)*(9k2+6k+3)= (3k+1)*3*(3k2+2k+1) )…..Tento tvar Q je určite deliteľný číslom 3

  2. n = 3k + 2→ Q = (3k+2)*[(3k+2)2+2)] = (3k+2)*(9k2+12k+4+2)= =(3k+2)*(9k2+12k+6)= (3k+2)*3*(3k2+4k+2) )…..Tento tvar Q je určite deliteľný číslom 3

 

Z uvedeného môžeme spraviť záver, že výraz Q = n3 + 2n je celý určite deliteľný číslom 3

 

Poznámka: Ak by sme mali zistiť, či je výraz Q deliteľný číslom 4. Za číslo n by sme postupne dosadzovali výrazy 4k; 4k+1; 4k+2; 4k+3. Ak by sme zisťovali, či je deliteľný číslom 5, tak by sme dosadzovali výrazy 5k; 5k+1; 5k+2; 5k+3; 5k+4;……….

 

 

Najväčší spoločný deliteľ

 

NSD prirodzených čísiel n1; n2;…nk je najväčšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľom každého z daných čísíel.

Platí tu tzv. Euklidov algoritmus, nazývaný tiež ako metóda postupného delenia

  • Ak pre prirodzené čísla n1 n2 platí n1 = k*n2 + z, tak každý spoločný deliteľ čísiel n1 n2 je tiež deliteľom čísla z a každý spločný deliteľ čísiel n2 z je deliteľom čísla n1 , t.j. spoločným deliteľom čísiel n1 n2

  • To znamená, že najskôr predelím číslo n1 číslom n2 (n1 > n2) a toto potom predelím zvyškom prvého delenia z1. Ďalej z1 delíme zvyškom druhého delenia z2 a pokračujeme až dovtedy, kým nedostaneme podiel bezozvyšku

 

Súdeliteľné čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú aspoň jedného spoločného deliteľa väčšieho ako jedna

Nesúdeliteľné čísla sú prirodzené čísla, ktoré nemajú žiadneho spoločného deliteľa, resp. ich najväčší deliteľ je rovný 1

Zvyšok je číslo z vo výraze typu a = b*k +z, nazývaný tiež zvyškový tvar čísla a. Číslo z je teda zvyšok pri delení čísla a číslom b

 

Príklad

Určte najväčší spoločný deliteľ čísiel 92 a 156

Postup je takýto: Od najmenšieho čísla (teda 2 nakoľko sú obe párne) ich budeme postupne predeľovať:

92 = 2*46 = 2*(2*23) = 2*2*(1*23) → tu sme skončili, pretože bezo zvyšku ho už viac nemáme čím deliť

156 = 2*78 = 2*(2*39) = 2*2*(3*13) = 2*2*3*(13*1) → tu sme skončili, pretože bezo zvyšku ho už viac nemáme čím deliť

Teraz si všímame, koľko tých deliteľov (okrem jednotky) majú tieto dve čísla spoločné. Prvé sme predelili dvoma dvojkami, druhé sme predelili dvoma dvojkami a jednou trojkou. Nakoľko trojka sa v delení prvého čísla nenachádza, môžeme spraviť záver, že tieto dve čísla majú spoločné dva krát číslo dva, a preto platí, že ich NSD = 2*2 = 4

 

 

Najmenší spoločný násobok

 

NSN prirodzených čísiel n1; n2;…nk je ten zo spoločných násobkov daných čísiel, ktorý je menší než ktorýkoľvek iný spoločný násobok

NSN má vo svojom prvočíselnom rozklade každý z prvočiniteľov rozkladov daných čísiel s najväčším mocniteľom, ktorý sa v týchto rozkladoch vyskytuje

 

Príklad

Tento krát máme za úlohu určiť NSN čísiel z predchádzajúceho príkladu, t.j. 92 a 156

Rozvoje si ponechám:

92 = 2*46 = 2*(2*23) = 2*2*(1*23)

156 = 2*78 = 2*(2*39) = 2*2*(3*13) = 2*2*3*(13*1)

NSN určíme súčinom všetkých čiastkových číslic (spoločných alebo nespoločných) čísiel 92 a 156 avšak s tým, že každá číslica, ktorá je týmto číslam spoločná sa tam smie nachádzať iba raz. To znamená, že ak majú čísla 92 a 156 spoločné dva krát dvojku (čiže mi tu vystupujú 4 dvojky), bude tam tá dvojka dvakrát (vezmem ju iba od jedného čísla). Uvádzam na príklade:

NSN = 2*2*23(to je číslo 92)*2*2*3*13( to je číslo 156)... majú spoločné dvojky, ale ja neurobím násobok 2*2*2*2 ale vezmem tie spoločné dvojky iba od jedneho z nich, t.j

NSN=2*2*23*3*13=3588

 

Určite NSN a NSD čísiel 423 a 900

Rozvoje:

423 = 3*141=3*(3*47)=3*3*(1*47)

900 = 2*450 = 2*(2*225)= 2*2*(3*75)= 2*2*3*(5*15)=2*2*3*5*(5*3)=2*2*3*5*5*3

NSD = 3*3 = 9 tieto čísla majú spoločné dve trojky, takže NSD je súčin týchto dvoch trojok

NSN = 3*3*2*2*5*5*47 = 42300 majú spoločné tie trojky, preto ich do súčinu budem zarátavať iba po jednej

 

 

Neriešené príklady

Zistite, či je výraz Q = n4 + 3n2 deliteľné číslom 4................................Určite áno

Určite NSN a NSD čísiel 60; 75; 50 .......................NSN = 300; NSD = 5

 

 

Použitá literatúra:

 

Vlastné poznámky

Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.