Exponenciálne nerovnice

Vypracovala: Petra Podmanická

Základné pojmy:

• Sú to také nerovnice, ktoré obsahujú neznámu alebo výraz s neznámou v exponente

• Čo sa metód ich riešenia týka, používame najčastejšie metódu substitučnú, logaritmickú, grafickú, a potom úpravu na rovnaký základ a úpravu na kvadratickú nerovnicu, ktoré si priblížime aj v rámci tejto témy

• Všeobecné riešenia exponenciálonych nerovníc neexistujú

• Aj tu, ako pri mnohých iných typoch nerovníc je skúška nevyhnutnosťou

Metóda úpravy na rovnaký základ

V podstate to znamená, že akúkoľvek nerovnicu si upravíme na spoločný základ a pre tie potom platí, že ak a^f(x) < a^g(x) tak potom pre akékoľvek „a > 1” platí, že f(x) < g(x). A potom platí, že ak spoločný základ je menej ako jedna, čiže ak „0 < a < 1” tak potom platí, že f(x) > g(x).

Metóda úpravy na kvadratickú rovnicu

Tu platí, že každú nerovnicu si upravíme na tvar kvadratickej nerovnice a potom riešime pre každý interval, ktorý nám vznikne osobitne (vysvetlím na príklade)

Riešené príklady:

Metódou úpravy na spoločný základ riešte nerovnicu:

1. Upravíme si nerovnicu na spoločný základ a to tak, že každý jeden člen si alebo roznásobíme, alebo osamostatníme, t.j.

10^x = (sa dá napísať tiež ako) = 2^x.5^x

5^x+1 = 5^x.5¹

5^x-1 = 5^x.5^-1

potom dostávame:

2^x.5^x * 2^-x * 5^x.5¹ > 5^x.5^-1

vydíme, že dvojky z nej môžeme vyhodiť preč (2^x * 2^-x = 2^x-x = 2⁰ = 1)

na pravej aj ľavej strane máme rovnaký výraz, a to 5^X takže ho môžeme vyškrtnúť

ešte platí, že (5^-1)/(5¹) = 5^(-1-1) = 5^-2

po týchto úpravách dostáveme nerovnicu v tvare:

5^x > 5^-2

2. Teraz využijeme pravidlo spomínané vrámci základných pojmov. Takže:

a = 5 ......a > 1

ak 5^x > 5^-2 tak potom aj x > -2

takže pre našu nerovnicu platí riešenie: P = (-2; ∞)

3. Spravíme skúšku správnosti pre -1; 0; 1:

Metódou úpravy na kvadratickú nerovnicu riešte nerovnicu

1. Túto rovnicu si upravíme na tvar kvadratickej nerovnice so základom (5^x), čiže:

5^2x.5¹ - 5^x – 4 > 0

5*(5^x)² – (5^x)¹ – 4 > 0

2. Teraz ju riešime štandardným spôsobom, ale naša neznáma bude celý výraz (x = 5^x), tým pádom pre koeficienty A,B,C platí:

A stojí vždy pred kvadratickým tvarom neznámej, a teda A = 5

B stojí vždy pred lineárnym tvarom neznámej, a teda B = -1

C je členom, ktorý neznámu neobsahuje, a teda C = -4

3. Keďže platí pre riešenie kvadratickej nerovnice vzťah , tak pre našu nerovnicu bude platiť:

4. Máme teda korene nerovnice, takže si ju môžeme upraviť na tvar:

(5^x – 1)*(5^x + 0,8) > 0

5. Z tohto tvaru vidíte, že celá nerovnica je kladná v prípade, že sú oba jej členy kladné alebo sú oba jej členy záporné, t.j.

A) 5^x – 1 > 0 a súčasne 5^x + 0,8 > 0:

5^x > 1 → 5^x > 5⁰ → x > 0

5^x > -0,8 → platí vždy 

B) 5^x – 1 < 0 a súčasne 5^x + 0,8 < 0:

5^x < 1 → prázdna množina

5^x < -0,8 → neplatí nikdy

6. Výsledný interval dostaneme zjedotením intervalov 5A a 5B, t.j.

Neriešené príklady:

K predchádzajúcemu príkladu si urobte skúšku

Určte riešenie nerovnice

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky

Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.