Vypracovala: Petra Podmanická


Hyperbola je množina bodov v rovine, ktoré majú od dvoch daných bodov stály rozdiel vzdialeností, t.j. |FX| - |GX| = 2a

 


Pre asymptoty hyperboly platia nasledovné vzťahy: Ak
  1. S[0; 0] → y = k*x = tg φ = ± x* (b/a)

  1. S[m; n] → y - n = ± (x – m)* (b/a)

Obrázok a popis k nemu:

 




V1 a V2 sú vrcholy hyperboly
 
F a G sú tzv. ohniská hyperboly
 
a = |V1 S| = |V2 S| je hlavná polos hyperboly
 
b je vedľajšia polos hyperboly
 
e = |FS| = |GS| je excentricita hyperboly
 
e2 = a2 + b2
 
|FX| a |GX| sú tzv. sprievodiče bodu M


Odvodenie rovnice hyperboly:

 


1. S[0; 0], V1 a V2 ležia na osi „x“

- vychádzame z hlavnej definície hyperboly: |FX| - |GX| = 2a
pre |FX| platí vzťah : sqrt[]{(x+e)^{2}+y^{2}}
pre |GX| platí vzťah : sqrt[]{(x-e)^{2}+y^{2}}

- toto dosadíme do pôvodnej rovnice a upravujeme:
 
Zdroj: /userfiles/image/matematika/hyperbola/hyp2.jpg
 
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1
 
2. S[m; n], V1 a V2 ležia na osi „x“

frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}=1
 
3. S[0; 0], V1 a V2 ležia na osi „y“
 
-frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1
 
4. S[m; n], V1 a V2 ležia na osi „y“

-frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}+frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}=1
 
5. Pre dotyčnicu k hyperbole v bode T[xT, yT] platí vzťah:
 
frac{(x_{T}-m)*(x-m)}{a^{2}}-frac{(y_{T}-n)*(y-n)}{b^{2}}=1



Praktická časť

 


1. Určte stred, vrcholy, asymptoty a ohniská hyperboly, ktorá je daná rovnicou
4x2 – 9y2 + 16x – 18y – 29 = 0

  • Rovnicu si doplníme na štvorec, teda na tvar (a ± b)2 Je vhodné ak si ju pred tým upravíme tak, že všetky „i-xi“ si dáme do jednej zátvorky a všetky „ypsilony“ si dáme do druhej zátvorky a čísla bez premennej si dáme na opačnú stranu. Budeme vlastne hľadať také dve čísla, ktoré nám zátvorky dostanú na štvorec

(4x2 + 16x)– (9y2 + 18y) = 29

  • Vyjmeme štvorku a deviatku:

4(x2 + 4x) – 9(y2 + 2y) = 29

  • Položíme si otázku. Aké číslo musíme doplniť, aby sme prvú zátvorku doplnili na štvorec? Aké číslo musíme doplniť, aby sme druhú zátvorku doplnili na štvorec?
 
4(x2 + 4x + 4) – 9(y2 + 2y + 1) = 29

  • Takže, z prvej zátvorky nám vznikne číslo +16 a z druhej -9

 

4(x2 + 4x + 4) – 9(y2 + 2y + 1) = 29 + 16 - 9
4(x + 2)2 – 9(y + 1)2 = 36

  • Predelíme číslom 36

 

  • Z rovnice nám vyplýva nasledovné:
S[-2; -1]
a = 3
b = 2
e = √(32 + 22) = √13

  • Asymptoty majú rovnice (iba dosadíme do rovnice y - n = ± (x – m)* (b/a)) a upravujeme, takže:
 
 
y + 1 = ± (x + 2)* (2/3)
3*(y + 1) = ± 2*(x + 2)
 
3y + 3 = + 2x + 4
3y – 2x -1 = 0

3y + 3 = - 2x – 4
3y + 2x + 7 = 0

  • Vrcholy majú súradnice V1 [+e + m; n] a V2 [-e + m; n], takže v našom prípade to vychádza, že vrcholy majú súradnice V1 [1; -1] a V2 [-5; -1].

  • No a nakoniec ohniská. Tie majú súradnice F[+a + m; n] a G[-a + m; n] = F[-2 - √13; -1] a G[-2 + √13; -1].


Neriešené príklady

 


1. Napíšte rovnicu hyperboly, ktorá má hlavnú os dlhú 12cm, ohnisko E[-10; 2] a ohnisko F [16; 2].
 
Výsledok: (x-3)2/144 – (y-2)2/25 = 1


 

Použitá literatúra:

 

1. Prehľad matematiky II – V. Burjan, Ľ. Hrdina, M. Maxian
2. Vlastné poznámky
3. Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.