Vypracovala: Petra Podmanická
Priesečník priamky s rovinou – numerické riešenie
(Pre lepšiu orientáciu, ak pôjde o vektor, označíme ho hrubým písmenom, t.j. vektor V = V alebo šípkou nad písmenom)
Medzi priamkou a rovinou existujú určité vzťahy (vzorce), na základe, ktorých vieme určiť dve hlavné polohy, ktoré existujú medzi priamkou a rovinou, t.j. na základe, ktorých vieme určiť, či je priamka s rovinou rovnobežná alebo rôznobežná, čo znamená určiť, či priamka s rovinou priesečník má alebo nemá a určiť odchýlku priamky od roviny.
Aby sme si to mohli názorne ukázať, majme teda nejaký smerový vektor priamky k = (k1, k2, k3) a normálový vektor roviny R = (R1, R2, R3).
- Priamka je s rovinou rovnobežná, ak k*R = 0 (súčin je skalárny); alebo to tiež môže znamenať, že priamka v tejto rovine leží. Z toho vyplýva, že nemajú spoločný ani jeden bod alebo nekonečne veľa bodov
- Priamka je s rovinou rôznobežná, ak k*R≠ 0 (súčin je skalárny). Vtedy majú priamka a rovina spoločný nejaký bod B
- Odchýlku priamky k a roviny R určíme z nasledovného vzťahu:
Príklad:
Určte polohu priamky a roviny a pokiaľ sú rôznobežné určte prisečník, v ktorom sa pretínajú. Rovina je vyjadrená v tvare: R: x + y + z + 1 = 0 a priamka je v tvare:
k: (x – 1)/2 = (y + 1)/1 = (1 – z)/1
Riešenie:
1. Z rovnice roviny si určíme normálový vektor roviny. Laicky povedané, normálový vektor roviny je tvorený číslami, ktoré sú pred súradnicami, a teda R = (1; 1; 1)
2. Teraz si určíme vektor priamky k. Najskôr si každú jednu rovnicu prirovnáme k písmenu „t“ a z rovníc, ktoré nám vzniknú vyjadríme, čomu sa rovná „x“ a „y“ a „z“. Ako v predchádzajúcom bode, súradnice priamky určíme podobným spôsobom, a to tak, že to budú čísla nachádzajúce sa pred písmenom „t“. Vyzerá to nasledovne:
3. Spravíme skalárny súčin týchto dvoch vektorov a podľa toho, čo nám vyjde určíme, či sú rovnobežné, alebo rôznobežné (viď. teória):
- k*R = (k1R1 + k2R2 + k3R3) = 2*1 + 1*1 + (-1)*1 = 2; → 2 ≠ 0
- priamka a rovina nie sú rovnobežné a teda sa pretínajú v nejakom bode B
4. Teraz si tento bod B môžeme určiť, resp. si určíme súradnice tohto bodu a to nasledovne:
- Do rovnice roviny si dosadíme rovnice, ktoré sme si odvodili v bode (2) a z výslednej rovnice si vyjadríme, čomu sa rovná t
x + y + z + 1 = 0
(2t + 1) + (t – 1) + (1 – t) = -1
2t + 1 = -1
2t = -2
t = -1
- Tento výsledok dosadíme spätne do rovníc z bodu (2). Ich výsledky sú súradnice priesečníka priamky a roviny:
x = 2t – 1 = 2*(-1) + 1 = -1
y = t – 1 = -1 – 1 = -2
z = 1 – t = 1 – (-1) = 2
Príklad:
Určte odchýlku priamky k od roviny R, ktoré sú vyjadrené nasledovne:
R: 4x + y + z – 1 = 0
k: x = 2t; y = 5 + 2t; z = -1 – t
Riešenie:
1. Rovnakým spôsobom ako v prechádzajúcom príklade si určíme vektory priamky a roviny:
R = (4; 1; 1)
k = (2; 2; -1)
2. Určíme si absolútne hodnoty vektorov pomocou vzorca p = √(p12 + p22 + p32)
3. Dosadíme do vzorca (teória, bod 3):
Priesečník priamky s rovinou – grafické riešenie
V prípade grafického riešenia je určenie polohy priamky a roviny teda to, či sú rovnobežné alebo rôznobežné veľmi jednoduché. V podstate stačí, ak si ich na základe zadaných súradníc zakreslíme a z obrázka môžeme vidieť, aký je medzi nimi vzťah. Určiť priesečník medzi nimi je o niečo zložitejší. Existuje na to všeobecný postup, ktorý vyzerá asi takto:
Prienik priamky k s rovinou R získame nasledujúcim spôsobom:
- priamkou k preložíme nejakú rovinu A, pre ktorú platí, že je s rovinou R rôznobežná
- zostrojíme priesečnicu B rovín A a R
- platí pri tom:
Použitá literatúra:
1. Vlastné poznámky
2. Miloš Božek: Základy geometrie v priestore