Vypracovala: Petra Podmanická
Inverzná matica je matica A-1, pre ktorú vzhľadom na maticu A platí: A*A-1=A-1*A=E
Inverzná matica sa počíta najmä v počítačových programoch (kvôli zložitosti riešenia), ale dá sa vypočítať aj ručne. A práve postup premeny matice na maticu inverznú si ukážeme v rámci tejto témy.
Majme maticu A3*3 a máme z nej spraviť inverznú maticu
Pointa samotného postupu je v tom, že budeme túto maticu upravovať po krokoch, až kým z nej nedostaneme maticu jednotkovú. Súčasne s tým budeme tými istými krokmi upravovať jednotkovú maticu až kým z nej nedostaneme maticu inverznú. Napríklad, ak tretí riadok matice A vynásobíme číslom 4, tak aj tretí riadok jednotkovej matice vynásobíme týmto istým číslom.
Pri všetkých ďalších postupoch budem jednotlivé prvky matice zapisovať do tabuľky do riadkov.
Pri premene A na A-1 platí nasledovné pravidlo: jeden riadok v rámci trojice riadkov (1,2,3 alebo 4,5,6 alebo 7,8,9 ...) ľubovoľne upravíme a zvyšné dva v rámci tejto trojice tvoríme pomocou neho, pričom platí, že z prvého riadku dostaneme štvrtý riadok, z druhého riadku piaty riadok, z tretieho riadku šiesty riadok, zo štvrtého riadku siedmy riadok......
A
Zapíšeme si maticu A, jednotkovú maticu a označíme čísla riadkov
|
3
|
-4
|
5
|
1
|
0
|
0
|
1.riadok
|
|
2
|
-3
|
1
|
0
|
1
|
0
|
2.riadok
|
|
3
|
-5
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
3.riadok
|
B
To, čo potrebujeme v prvom rade urobiť, je na mieste „1.riadok 1.stĺpec“ dostať jednotku. Čo teda musíme urobiť, aby sme miesto trojky mali jednotku? Predelíme celý prvý riadok trojkou (aj maticu A aj jednotkovú maticu) → dostaneme štvrtý riadok tabuľky.
|
3
|
-4
|
5
|
1
|
0
|
0
|
1.riadok
|
|
2
|
-3
|
1
|
0
|
1
|
0
|
2.riadok
|
|
3
|
-5
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
3.riadok
|
|
1
|
-4/3
|
5/3
|
1/3
|
0
|
0
|
4.riadok = 1.riadok/3
|
Ďalším krokom je urobiť také operácie, aby sme na všetkých miestach v prvom stĺpci dostali nuly - týmto dokončíme prvý stĺpec budúcej jednotkovej matice.
Teraz chceme na mieste „1.stĺpec 2.riadok“ dostať nulu pomocou 4. riadku. Čo teda musíme urobiť? Nulu na tomto mieste dostaneme ak štvrtý riadok vynásobíme mínus dvojkou a pripočítame k druhému riadku.
piaty riadok = -2* 4.riadok + 2.riadok
„-2*1 + 2 = 0“ → a takto spravíme všetky ostatné prvky v tomto riadku.
A podobným spôsobom nulu na mieste „1.stĺpec 3.riadok“. Aby sme tam dostali nulu, tak štvrtý riadok vynásobíme mínus trojkou a pripočítame ku tretiemu riadku.
šiesty riadok = -3* 4.riadok + 3.riadok
„-3*1 + 3 = 0“ → a takto spravíme všetky ostatné prvky v tomto riadku.
Nezabúdajte, že tieto úpravy sa netýkajú len prvých prvkov v rámci týchto riadkov, ale všetkých prvkov v rámci daného riadku
Dostaneme teda:
|
3
|
-4
|
5
|
1
|
0
|
0
|
1.riadok
|
|
2
|
-3
|
1
|
0
|
1
|
0
|
2.riadok
|
|
3
|
-5
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
3.riadok
|
|
1
|
-4/3
|
5/3
|
1/3
|
0
|
0
|
4.riadok = 1.riadok/3
|
|
0
|
-2*(-4/3)-3= -1/3
|
-7/3
|
-2/3
|
1
|
0
|
5.riadok = - 2 * 4.riadok + 2.riadok
|
|
0
|
-3*(-4/3)-5= -1
|
-6
|
-1
|
0
|
1
|
6.riadok = - 3 * 4.riadok + 3.riadok
|
C
Teraz podľa vzoru jednotkovej matice musíme jednotku dostať na mieste „2.stĺpec 5.riadok“ a ostatné v tomto stĺpci musia byť nuly. Takže ako musíme upraviť (teraz už) piaty riadok, aby sme dostali jednotku tam, kde potrebujeme? Prenásobíme celý tento riadok číslom -3 → dostaneme 8.riadok. Všetky ostatné čísla musia byť v rámci tohto bodu v 2.stĺpci nulové:
siedmy riadok = 4/3 * 8.riadok + 4.riadok = 4/3*1 – 4/3 = 0
deviaty riadok = 8.riadok + 6.riadok = 1 – 1 = 0
Tým sme ukončili prácu v rámci tohto stĺpca
|
3
|
-4
|
5
|
1
|
0
|
0
|
1.riadok
|
|
2
|
-3
|
1
|
0
|
1
|
0
|
2.riadok
|
|
3
|
-5
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
3.riadok
|
|
1
|
-4/3
|
5/3
|
1/3
|
0
|
0
|
4.riadok = 1.riadok/3
|
|
0
|
-2*(-4/3)-3= -1/3
|
-7/3
|
-2/3
|
1
|
0
|
5.riadok = - 2 * 4.riadok + 2.riadok
|
|
0
|
-3*(-4/3)-5= -1
|
-6
|
-1
|
0
|
1
|
6.riadok = - 3 * 4.riadok + 3.riadok
|
|
1
|
0
|
11
|
3
|
-4
|
0
|
7.riadok = 4/3 * 8.riadok + 4.riadok
|
|
0
|
1
|
7
|
2
|
-3
|
0
|
8.riadok = - 3 * 5.riadok
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
-3
|
1
|
9.riadok = 8.riadok + 6.riadok
|
D
A poslednú jednotku, ktorú potrebujeme dostať je na mieste „3.stĺpec 9.riadok“ a ostatné v tomto stĺpci musia byť nula. Takže čo musíme urobiť, aby sme tam tú jednotku dostali? V podstate nič, prehlásime, že 9.riadok = 12.riadok a iba to prepíšeme s tým, že výpočty ostatných bodov sa budú počítať pomocou tohto 12.teho riadku. A teda
desiaty riadok = -11*12. riadok + 7.riadok
jedenásty riadok = -7*12. riadok + 8. Riadok
Finálna verzia tabuľky:
|
3
|
-4
|
5
|
1
|
0
|
0
|
1.riadok
|
|
2
|
-3
|
1
|
0
|
1
|
0
|
2.riadok
|
|
3
|
-5
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
3.riadok
|
|
1
|
-4/3
|
5/3
|
1/3
|
0
|
0
|
4.riadok = 1.riadok/3
|
|
0
|
-2*(-4/3)-3=-1/3
|
-7/3
|
-2/3
|
1
|
0
|
5.riadok = - 2 * 4.riadok + 2.riadok
|
|
0
|
-3*(-4/3)-5=-1
|
-6
|
-1
|
0
|
1
|
6.riadok = - 3 * 4.riadok + 3.riadok
|
|
1
|
0
|
11
|
3
|
-4
|
0
|
7.riadok = 4/3 * 8.riadok + 4.riadok
|
|
0
|
1
|
7
|
2
|
-3
|
0
|
8.riadok = - 3 * 5.riadok
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
-3
|
1
|
9.riadok = 8.riadok + 6.riadok
|
|
1
|
0
|
0
|
-8
|
29
|
-11
|
10.riadok = - 11 * 12.riadok + 7.riadok
|
|
0
|
1
|
0
|
-5
|
18
|
-7
|
11.riadok = - 7 * 12.riadok + 8.riadok
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
-3
|
1
|
12.riadok = 9.riadok
|
Žltým zobrazená je inverzná matica k matici A.
Výsledok riešenia si overíte tak, že inverznú maticu prenásobíte pôvodnou maticou A. Ak vám vyjde matica jednotková, riešili ste správne.
Neriešený príklad:
Z matice A urobte inverznú maticu (máte to aj hneď s výsledkom, ale urobte si aj skúšku)
Použitá literatúra:
Vlastné poznámky