Vypracovala: Petra Podmanická

 
 
S maticami môžeme robiť rôzne operácie. Môžeme ich sčítať, odčítať, vynásobiť rôznym nenulovým číslom alebo vzájomne medzi sebou, alebo môžeme z matice urobiť maticu inverznú, transponovanú, opačnú... Čo však s maticami nemožno robiť, je vzájomne ich predeliť, t.j. ak máme maticu A a maticu B, nemôžeme urobiť A/B (resp. môžeme, ale iba v počítačových programoch, ktoré sú na to prispôsobené).

 
Súčet matíc: Súčtom matice A=[aij][m x n] a matice B=[bij][m x n] je matica C=[cij][m x n], ktorá obsahuje prvky, pre ktoré platí cij = aij + bij. Vo všeobecnosti súčet matíc zapisujeme ako C = A + B. Laicky povedané, pri súčte matíc vzájomne sčítame prvky oboch matíc nachádzajúce sa na rovnakých miestach v matici. Sčítavať môžeme iba matice, ktoré majú rovnaký počet riadkov a stĺpcov:
 
C = A + B = B + A

 

Rozdiel matíc: Rozdiel matíc sa riadi takými istými postupmi ako súčet matíc s tým, že miesto znamienka plus tam dáme znamienko mínus. A samozrejme ani ako pri bežnom odčítaní, ani tu neplatí, že A - B = B - A
 
 
C = A – B ≠ B – A

 

Násobenie matice ľubovolným číslom rôznym od nuly: k-násobok matice A=[aij][m x n] je matica B=[bij][m x n] práve vtedy, keď bij = k*aij. Vo všeobecnosti zapisujeme násobok matice, ako B = k*A. Laicky povedané, ak násobím maticu ľubovolným číslom rôznym od nuly, tak vynásobím týmto číslom všetky prvky tejto matice:

 

 
B = k*A

 

Súčin matíc: Súčinom matice A=[aij][m x n] a matice B=[bij][m x n] je matica C=[cij][m x n], ktorá obsahuje prvky, pre ktoré platí cij = Σ aij* bij. Toto vo všeobecnosti zapisujeme ako C = A*B. Pri násobení matíc musí platiť, že počet stĺpcov matice A musí byť zhodný s počtom riadkov matice B. Súčin matíc je trochu komplikovaný, a preto si to ukážeme aj na konkrétnom príklade. Ukážeme si aj to, že neplatí vzťah A*B = B*A.

Pred tým, ako začneme matice násobiť, je vhodné určiť si, akých rozmerov bude výsledná matica. Napríklad:
 
A[2*3]*B[3*2] = C[2*2]
A[1*3]*B[3*1] = C[1*1]

 

C = A*B

c11 = a11*b11 + a12*b21
c12 = a11*b12 + a12*b22
c21 = a21*b11 + a22*b21
c22 = a21*b12 + a22*b22


C = B*A

c11 = b11*a11 + b12*a21
c12 = b11*a12 + b12*a22
c21 = b21*a11 + b22*a21
c22 = b21*a12 + b22*a22


 

Iné pravidlá, ktoré sú pre operácie s maticami platné:

A + B = B + A
A + 0 = 0 + A = A
A+ (-A) = 0
(A + B) +C = A + (B + C)
A + (B + C) = (A + B) + C
A*0 = 0*A = 0
k*(A+B) = k*A + k*B
k*(A*B) = (k*A)*B = A*(k*B)
(k*l)*A = k*(l*A)
(k + l)*A = k*A + l*A
A*B*(C) = A*(B*C)
(A + B)*C = AC + BC
(AT)T = A
(A-1)-1 = A
(A + B)T = AT + BT
(A*B)-1 = B-1*A-1
(A*B)T = BT*AT
(k*A)-1 = k-1*A-1



 
Ekvivalentné riadkové a stĺpcové úpravy

- sú úpravy, ktoré ak uskutočníme, hodnosť (počet lineárne nezávislých riadkov/stĺpcov matice) matice sa nezmení:
 
  1. Ak vymeníme poradie riadkov a stĺpcov v matici
  2. Ak vynásobíme niektorý riadok alebo stĺpec v matici nenulovým číslom
  3. Pripočítanie k niektorému riadku alebo stĺpcu matice násobok iného riadku alebo stĺpca tejto matice
  4. Vynechanie riadku alebo stĺpca v matici, ktorý je lineárnou kombináciou ostatných riadkov alebo stĺpcov v tejto matici
  5. Pridanie riadku alebo stĺpca v matici, ktorý je lineárnou kombináciou riadkov alebo stĺpcov v tejto matici

 
 

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky
Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.