Obvod trojuholníka

Vypracovala: Ing. Renáta Dvončová

Zadanie: Určte obvod rovnostranného trojuholníka, ktorého obsah je tretinou obsahu rovnostranného trojuholníka s výškou v = 6cm

Riešenie:

Zakreslíme si rovnostranný trojuholník ABC. Vieme, že v rovnostrannom trojuholníku platia tieto vety:

a) všetky tri strany trojuholníka majú rovnakú veľkosť a=b=c=a

b) všetky tri uhly v trojuholníku sú rovnako veľké, £ = ß = γ = 60^o

c) výšky trojuholníka sa tiež rovnajú a sú totožné s ťažnicami a spájajú vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán, pričom sú na strany kolmé

Ako prvé si musíme vyrátať obsah tohoto rovnostranného trojuholníka. Na výpočet použijeme vzorec číslo 1.

         a . v_a                Stranu a si vyjadríme pomocou goniometrickej

S = ----------            funkcie cez výšku, lebo vieme, že uhol ß = 60^o

           2                     a výška má veľkosť 6 cm

Z obrázku vidíme, že použijeme gon. funkciu sin ( je to pomer protiľahlej odvesny k prepone).

    vzorec č.2                                         vzorec č.3

              v_a                                                                        v_a

sin ß = ------            z toho vyplýva      a = ------------

               a                                                     sin ß

                              6                          6

dosadíme: a= --------------            a = ------------            a = 6,9 cm

                          sin 60^o                        0,866

túto hodnotu dosadím do vzorca č.1

          6,9 . 6

S₁ = ------------

             2

S₁ = 20,8 cm²

Našou úlohou je vypočítať obvod trojuholníka, ak jeho obsah sa rovná 1/3 obsahu 20,8 cm².

Čiže S₂ sa musí rovnať hodnote 20,8/3

           20,8

S₂ = ----------- = 6,9 cm²

                3

Z tejto hodnoty si teraz musíme vyrátať dĺžku strany trojuholníka, ktorý si označíme ako trojuholník č.2. Ideme presne opačne, ako sme rátali doteraz.

           a . v_a

S₂ = ------------ dosadím za S₂

              2

             a. v_a

6,9 = -----------      zo vzorca č.2 si vyjadríme výšku: v_a = a . sin ß

               2            a po dosadení dostaneme:

          a . a . sin ß          a². sin 60^o

6,9 = ---------------     =    -------------

               2                           2

           a². 0,866

6,9 = ------------- úpravou vzťahu a vyjadrením pre a dostaneme:

               2

a² = 16                            z toho a = 4 cm

Teraz, keď máme vyrátanú dĺžku strany a rovnostranného trojuholníka, nie je problém vyrátať obvod tohoto trojuholníka:

Vzťah pre obvod:                     o = a + b + c

Pre rovnostranný trojuholník:    o = 3.a

Dosadíme:                              o = 3 . 4

                           O = 12 cm

Obvod hľadaného trojuholníka je 12 cm.

Použitá lieratúra: Prehľad stredoškolskej matematiky, matematické tabuľky