Exponenciálne rovnice II

Vypracovala: Ing. Renáta Dvončová

V tomto učive ideme riešiť zložitejšie exponenciálne rovnice. Vieme, že exponenciálne rovnice sú rovnice, v ktorých sa vyskytujú mocniny s neznámou v exponente.

Medzi zložitejšie exponenciálne rovnice patria tieto rovnice:

a./ Exponenciálna rovnica typu:

f(x), g(x) sú dané funkcie

Tento typ rovnice riešime logaritmovaním, čím sa prevedie na ekvivalentnú rovnicu.

f(x).loga = g(x).logb

Príklad:

^{2 – 3x} = 5^x

Nakoľko základy mocnín  sú a 5, nemôžeme ich upraviť na spoločný základ a tým pádom rovnicu logaritmujeme:

               (2-3x) . (log1 – log3) = x.log5

nakoľko log1 = 0, po vynásobení získame:

               3x log3 – 2log3 = x.log5      upravíme a vzniká:

3xlog3 – xlog5 = 2 log3

x.(3log3 – log5) = 2.log3

Tento podiel ďalej logaritmujeme:

logx = log 0,95424 – log 0,73239                      z toho vyplýva

logx = ( 0,95424 –1) – (0,73239 – 1) = 0,11492

Po odlogaritmovaní x = 1,3029

Skúška:       

P: 5^1,3029 = 8,144

b./ Exponenciálna rovnica typu:

F je daná funkcia argumentu a^f(x), f(x) je daná funkcia argumentu x.

Substitúciou y = a^f(x) sa riešenie tejto rovnice prevedie na riešenie dôsledkovej rovnice

F(y) = 0

Príklad:

2^{2x + 1} + 2^{x + 2} = 16

Rovnicu upravíme na nasledovný tvar:

2^2x. 2¹ + 2^x . 2² - 16 = 0       zavedieme substitúciu: 2^x = z

z² . 2 + z . 4 – 16 = 0

2 z² + 4z – 16 = 0             dostali sme kvadratickú rovnicu, upravíme ju:

z² + 2z – 8 = 0 jej riešením dostaneme dva korene:

z₁ = 2 tento koreň vyhovuje

z₂ = – 4 nevyhovujúci koreň nakoľko 2^x > 0

Teraz ideme dosadiť do substitúcie, nakoľko chceme vyrátať neznámu x

2^x = z           2^x = 2

                                          2^x = 2¹

                                          x = 1

Skúška:

Ľ: 2³ + 2³ = 8 + 8 = 16

P: 16

Medzi zložitejšie exponenciálne rovnice môžeme zaradiť i rovnicu tohto typu:

Príklad:

3^y + 3^{y + 1} = 108

rovnicu upravíme podľa pravidiel, ktoré platia pre exponenty:

3^y + 3^y . 3¹ = 108 vyjmeme pred zátvorku 3^y

3^y .( 1 + 3) = 108

3^y . 4 = 108 /:4

3^y = 27

3^y = 3³ z toho vyplýva, že

y = 3

Skúška:

Ľ: 3³ + 3⁴ = 27 + 81 = 108

P: 108

Príklady:

Riešte rovnice: 1./ 2^{y + 3} = 2^y + 112

2./ 2^2x. 3^x = 144

3./ 4^x + 3^{x + 4} = 4^{x + 3} – 3^{x +2}

Pri tretej rovnici obe strany upravíme tak, aby sme na ľavej strane mali základ 3 a na pravej 4.

Potom upravíme podľa pravidiel pre exponenty (musíme dostať 3^x . 90 = 4^x. 63)

Tento vzťah dajte do zlomku s exponentom x  a logaritmujte.

Použitá literatúra: Prehľad stredoškolskej matematiky